2017 Fiscal Year Research-status Report
シュレディンガー方程式に対するスケール臨界な大域挙動の定量的解析
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17K14218
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シュレディンガー方程式 / 極限吸収原理 / レゾルベント評価 / ストリッカーツ評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
スケール臨界な外力ポテンシャルを伴う定常 Schrodinger 方程式の大域的性質について解析した。研究計画に基づき、比較的単純なトイモデルとして、空間3次元以上でポテンシャルが逆二乗ベキ型であって、さらに結合定数が劣臨界の場合に、臨界重み付き空間における一様レゾルベント不等式を示すことに成功した。一様レゾルベント不等式は極限吸収原理の精密化であり、後述の初期値問題など、応用上重要な性質である。証明の鍵となったのはレゾルベント方程式を複数回用いる方法で、これにより一般の重みを斉次な重みに帰着させることができる。斉次重み付き空間の場合は以前の研究で Mourre 理論を用いてすでに証明していたが、今回は自由レゾルベントの積分核の性質を用いた直接的方法による別証明も行った。さらに、この別証明の副産物として、重み付き空間上の結果だけでなく一様 Sobolev 不等式と呼ばれる、Lebesgue 空間上の Hardy-Littlewood-Paley 型不等式を示すことにも成功した。これは重み付き空間上の評価よりも強い結果である。
次に、同様の逆二乗ベキポテンシャルを伴う Schrodinger 方程式の初期値問題に対して、上記の結果を応用することで時間大域的な加藤型平滑化効果および非斉次端点評価を含む Strichartz 評価を証明することに成功した。これらは対応するポテンシャル付き非線形 Schrodinger 方程式の解析に対する重要な進展である。証明の鍵となったのは Duhamel の原理を複数回適用する方法で、これと加藤の滑らかな摂動理論を組み合わせることで、主要部に対する既知の結果と一様レゾルベント不等式から（Strichartz 評価や加藤型平滑化効果を含む）時空間評価を導く一般的なスキームを開発した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度研究計画の主要な目的であった逆二乗ベキポテンシャルを伴う定常 Schrodinger 方程式の大域的性質について、一様レゾルベント不等式の証明に成功したことはより精密な解析への第一歩として重要な進展である。また、その過程において開発された証明方法は、より一般のスケール臨界なポテンシャルを伴う場合への拡張の際にも重要となると考えている。さらに、これらの初期値問題への応用についても、非斉次端点を含む Strichartz 評価など、来年度以降に計画していた研究を一部前倒しで達成できたのは十分な成果である。一方で、ゼロレゾナンスと定常 Schrodinger 方程式のスケール臨界な関数空間における大域的性質の関係性の解析については、あまり進展することができなかった。以上を勘案すれば、概ね順調に進展しているというのが妥当である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に引き続いて、より一般のスケール臨界なポテンシャルを伴う場合について定常 Schrodinger 方程式の大域的性質およびその初期値問題への応用について解析を行う。特に、Birman-Schwinger 原理を用いたゼロレゾナンスおよびゼロ固有値の非存在の特徴づけを Lebesgue 空間上の場合へと一般化することで、ゼロエネルギーが正則な場合について、一様 Sobolev 不等式、Strichartz 評価、加藤平滑化効果などの証明を試みる計画である。
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| Causes of Carryover |
年度末に短期の国内出張を予定していたが、国内の研究集会での講演依頼（旅費先方負担）がありそれを優先したため、その分の費用が余った。年度末であったため次年度に持ち越しとした。書籍の購入に充てる予定である。
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