2018 Fiscal Year Research-status Report
シュレディンガー方程式に対するスケール臨界な大域挙動の定量的解析
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17K14218
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シュレディンガー方程式 / ストリッカーツ評価 / 極限吸収原理 / シュレディンガー作用素 / レゾルベント評価 / スペクトル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、空間3次元以上でスケール臨界なルベーグ空間に属するポテンシャルを伴ったシュレディンガー作用素の定常問題の大域的性質の解析とその初期値問題およびスペクトル理論への応用を行った。まず、ゼロ固有値とゼロレゾナンスの非存在のもとで、Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式の非ゼロエネルギーへの拡張である自由レゾルベントに対する一様ソボレフ不等式を一般のスケール臨界なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素に拡張することに成功した。これは以下の3つの点から前年度の結果と比べて大幅な進歩である： (i) 重み付き評価と比べて一様ソボレフ不等式は遥かに精密であること。(ii) ポテンシャルのグラフに対する幾何条件を一切仮定していないこと。(iii) これまでは重み付き空間で考察されていたゼロレゾナンスを斉次ソボレフ空間（あるいはルベーグ空間）で特徴づけることで、次元に依存しない統一的取り扱いを可能にしたこと。
さらに、この結果を応用として、以下の3つを得た：
(1) 同様のポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式の初期値問題に対する、非斉次端点評価および非許容対に対する評価(いわゆる exotic 評価) を含む時間大域的な Strichartz 評価および加藤型平滑化作用。(2) 同様のポテンシャルを伴う非負シュレディンガー作用素の関数（スペクトル掛け算作用素）に対する Mikhlin-Hormander 型の有界性定理。(3) 同様のポテンシャルおよび複素ポテンシャルを伴う非自己共役シュレディンガー作用素の固有値のスペクトル半径に対する Keller 型評価。
これらの結果は次年度以降の計画に予定している、非線形散乱への応用および非自己共役シュレディンガー作用素のスペクトル解析に向けて基本的となる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度までは仮定していたポテンシャルに対する一切の幾何条件（凸性など）を排除できたことは大幅な進歩である。これは、特にザハロフ系などの非線形分散型方程式系の散乱理論に応用する際には本質的となる。また、前年度研究で課題として残っていたゼロレゾナンスの非存在のルベーグ空間での特徴づけを解決できたことも大きな進展である。以上を勘案すれば、概ね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に基づいて非自己共役シュレディンガー作用素のスペクトル解析を行う。研究方法は、本年度までに準備した一様レゾルベント評価と近年の Rupert Frank による Birman-Schwinger 原理と複素解析を用いる方法を予定している。また、最終年度の計画を一部前倒しして、非線形散乱への応用についても研究を行う。
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| Causes of Carryover |
2020年1月に国際研究集会を東京で開催し、国内在住研究者および海外研究者をそれぞれ複数人招聘する予定である。これと自信の出張計画を合わせると翌年度分だけでは不足する可能性があるため、2018年度の国内出張を一部取りやめて次年度使用額とすることにした。
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