2021 Fiscal Year Research-status Report

シュレディンガー方程式に対するスケール臨界な大域挙動の定量的解析

Research Project

Project/Area Number	17K14218
Research Institution	Osaka University
Principal Investigator	水谷治哉大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2023-03-31
Keywords	シュレディンガー方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 修正波動作用素 / 消散型非線形波動方程式 / 逆二乗冪ポテンシャル / 非自己共役ディラック作用素
Outline of Annual Research Achievements	本年度は研究計画に基づき、以下の2点について研究を行なった。 1. 非一様な変数係数冪乗型非線形項を伴った非線形シュレディンガー方程式を考察した。まず、非線形項が臨界長距離型の場合に、終値問題の解の漸近挙動を解析し、十分滑らかな小さい散乱データに対して修正波動作用素を構成した。これは一様な定数係数非線形項を伴う場合の先行研究の拡張であり、非一様な非線形項の場合に対する長距離散乱としては初めての結果である。さらに、基底状態変換を用いて、この結果を逆二乗冪ポテンシャルを伴った球対称な非線形シュレディンガー方程式の終値問題に拡張した。その際に前年度までに証明したストリッカーツ評価が本質的な役割を果たしている。この結果は論文にまとめ現在投稿中である。 2. 複素行列ポテンシャルを伴った非自己共役ディラック作用素の固有値問題を解析し、ポテンシャル行列の構造に対する幾つかの条件の下で、固有値のスペクトル半径をポテンシャルのノルムで評価するケーラー型評価式を証明した。このような評価式はシュレディンガー作用素に対してはよく調べられているが、ディラック作用素に対しては一般には成立しないことが先行研究で示されていた。今回の結果はディラック作用素の行列構造に着目することによって、その困難を克服した。この結果も論文にまとめ現在投稿中である。 3. 時間依存する臨界な消散項を伴った消散型非線形波動方程式の初期値問題を考察した。非線形項が劣臨界の場合に、大域解の存在を証明し、その漸近挙動の解析を行なった。この結果は論文雑誌「Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA」に掲載済みである。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 非自己共役作用素のスペクトル解析を除いて、研究計画で予定していた問題については概ね解決することができた。また、非自己共役作用素のスペクトル解析についても、小さな結果ではあるが、非自己共役ディラック作用素に対して結果を得ることができた。一方で、社会情勢はいまだ正常には戻らず、研究成果に関する情報発信・情報交流については不十分な点もある。以上を勘案すれば、研究課題の進捗としては概ね順調に進展していると考える。
Strategy for Future Research Activity	引き続き非自己共役作用素のスペクトル解析を行う。特に、非自己共役シュレディンガー作用素については最近大きな進展が先行研究においてあったので、その解析手法がその他の非自己共役作用素に適用できるかどうか検討する。また、オンラインを含め、これまでの研究成果の情報発信に努める。
Causes of Carryover	コロナウイルス感染拡大のためにほぼ全ての国内・国外出張をキャンセルし、それに伴い出張用のノートパソコン等の電子機器の買い替えも取りやめたため、次年度使用額が生じた。国内研究集会については、少しずつではあるが再開の見込みがあるので、その出張費用および講演に必要なノートパソコン等の購入を計画している。また、オンライン研究集会や打ち合わせに必要な電子機器の購入も予定している。