2019 Fiscal Year Research-status Report
Research on transition phenomena in nonlinear dispersive equations
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17K14219
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 散乱問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 非線形クラインゴルドン方程式 / 遷移現象 / 散乱理論 / 長距離散乱 / 定在波解の安定性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、主に３つの課題がある。それぞれの進捗について分けて述べる。
まず、長距離散乱理論の研究について。瀬片純市氏、瓜屋航太氏と空間１、２次元において非線型クラインゴルドン方程式のシステムを考察した。これまでの研究で培った長距離散乱に関する技術を用いて、小さな解に対する漸近挙動を分類することを目指した。既存の結果よりも広い範囲のモデルを取り扱えることが分かったが、当初想定していたより状況が複雑であり、決定的な結果には至らなかった。現在、この結果は論文としてまとめているところである。また、関連する話題として、非線形クラインゴルドン方程式系の解の時間減衰の最適性の結果を得ることができた。
遷移現象に関しては、少し方向性を替えて、近隣モデルの考察に重点をおいた。質量臨界クラインゴルドン方程式および質量劣臨界非線形シュレディンガー方程式系を取り扱った。とくに非線形シュレディンガー方程式系の研究においては、システムならではの問題点をいくつか発見するに至った。これらは論文にまとめ現在投稿中である。また、関連分野の情報収集のために、国内研究集会を主催した。
また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形シュレディンガー方程式をMurphy 氏、瀬片氏ら考察した。必ずしも小さくない定在波解の漸近安定性を考察した。これにあたっては、特に定在波解周りでの線形作用素の散乱理論の解析を主に担当した。この結果は現在論文としてまとめているところである。
Visan氏のもとに長期滞在し、Killip氏、Visan氏との共同研究を行った。質量劣臨界非線形分散型方程式群における遷移現象の理解のため、可積分構造を用いた解析により、新しい知見を得ることを目指した。この結果、転換点の候補となり得る特殊解が浮かび上がってきた。この解は可積分系の場合しか存在が知られていない。存在結果の拡張を試みたが、完成しなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画と比べると、主な目標としていた遷移現象における進展と、長距離散乱に関する進展はおおむね予想通りである。安定性理論の分野に関して期待以上の進展があった。
遷移現象の問題に関する研究において、新たな重要な知見は得られたが、当該課題は後述の研究計画変更もあり完成しなかった。しかし、関連問題に関して、想定を超える複数の結果が得られた。長距離散乱に関しても、計画した方向性には進めていないが、当初予定していなかった新たな展開が見えてきた。これらの二つに関しては、総合的に見ると順調に進展していると言える。
安定性理論の研究については、昨年度に行った、デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の小さい定在波解の漸近安定性の研究に引き続き、必ずしも小さくないシュレディンガー方程式の定在波解の漸近安定性を研究した。小さくないことで、定在波解まわりでの線形作用素のスペクトルの解析が重要になる。スペクトルの条件は確かめることが難しい場合もあり、多くの研究においては、この部分は適当な仮定を置くことで済まされる。しかし、この研究では具体的なモデルを扱っているため、これらの条件をその具体性を生かして確かめる必要がある。この部分に関して、予想以上の進展を得ることができた。
本研究課題を基課題として、国際共同研究強化（Ａ）の課題も並行して行っていた。子の誕生に伴い、研究計画に大きな変更が生じた。その結果、国際共同研究強化（Ａ）の課題を優先して行ったため、遷移現象に関する一部の研究は完成せず、次年度に繰り越さざるを得ない状況が生じた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の主目的であった遷移現象の解析についての繰り越された課題の完成を目指す。
今年度の研究の結果、転換点の候補となり得る特殊解が浮かび上がってきた。前述の通り、この解は可積分系の手法を使って構成されているため、可積分系の場合しかその存在が知られていない。この解に関して、存在結果を可積分系以外の方程式への拡張を試みる。可積分性に頼らない手法、つまりもう少し"偏微分方程式論的な"手法によってこの解を捉えなおし、それを通じて可積分系以外の方程式への拡張を目指す。
また、当初の計画にはなかったものの、これまでの研究を通じて見えてきた新たな課題として、デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波解周りでの線形作用素のスペクトル解析をさらに深化させることを取り上げる。現状では、大きなピクチャーは見えているが、細部は確かめられておらず、またその証明の一部は数値計算に頼っている。その数値計算はまだ粗いものであるので、これを洗練させてより詳しい情報を得ることが課題の一つ。併せて、数値計算に依らない理論的なアプローチの可能性も模索する。
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| Causes of Carryover |
本研究課題を基課題とする国際共同研究強化Ａの課題を並行して行っていた。長期海外出張を行い研究を行っていたが、子の誕生により研究計画を変更する必要が生じた。この変更の結果、国際共同研究強化Ａの課題を前倒しして優先的に行うことにしたため、当該研究課題の一部を次年度に繰り越すこととなった。
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| Remarks |
いずれも、今年度の研究内容に関する投稿中の論文
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