2019 Fiscal Year Research-status Report

複雑な共鳴構造を持つ非線形分散型方程式の可解性について

Research Project

Project/Area Number	17K14220
Research Institution	University of Miyazaki
Principal Investigator	平山浩之宮崎大学, キャリアマネジメント推進機構, 講師 (90748328)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 適切性 / 4階シュレディンガー方程式 / 共鳴構造 / Zakharov-Kuznetsov方程式 / Burgers方程式 / 漸近挙動
Outline of Annual Research Achievements	本年度は主に、以下の2つの問題について取り組んだ。 (1) 非線形4階シュレディンガー方程式の初期値問題の適切性について未知関数の2階以下の導関数しか含まない非線形項を持つ非線形4階シュレディンガー方程式の適切性については、多くの先行結果が知られている。そこで本研究では、多項式の枠組みで3階までの導関数を含む一般的な非線形項を扱い、適切性を得ることに成功した。(池田正弘氏、田中智之氏との共同研究）この結果は非線形項が2階以下の導関数による多項式となっている場合も含んでおり、いくつかの先行結果の改良となっている。また、非線形項に3階の導関数を含むものについては、完全可積分系である微分型シュレディンガー階層の方程式に対する結果も含んでいる。さらに、非線形項を具体的に与えた場合には共鳴構造による影響を評価に組み込むことで、スケール臨界指数における適切性と解の散乱についての結果も得ることが出来た。 (2) Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程式の解の漸近挙動について前年度までの研究でZakharov-Kuznetsov-Burgers方程式に対する時間大域的適切性については得ている。そこで引き続き、解の時間漸近挙動を得ることを試みた。(福田一貴氏との共同研究) 線形解の考察およびエネルギー評価を行うことで、小さな初期値に対する解が時間減衰することまでは分かったが、減衰レート等についてはまだ得られておらず、漸近系を特定するまでには至らなかった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 非線形4階シュレディンガー方程式に対して一般的な枠組みでの結果を得ることに成功し、先行結果を大きく改良することが出来た。また、適切性だけではなく解の散乱についての結果も得られた。この結果については論文を査読付き雑誌に投稿中である。以上のことから、状況は順調であると言える。
Strategy for Future Research Activity	今後の研究では、Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程式の解の漸近挙動について引き続き調べる。初期値に対する仮定の見直しなどを行い、漸近系の特定を目指すこととする。場合によっては比較的考えやすい、高次の非線形項を持つmodified Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程式の解の漸近挙動から調べることも視野に入れる。
Causes of Carryover	2019年度は新型コロナウイルスの感染拡大防止の影響により、2020年2月以降の出張の予定がキャンセルとなった。そのため、出張に使用する予定だった旅費が余る形となった。翌年度も主に、研究成果の発表や共同研究者との打ち合わせの際の旅費、研究集会を開催する際の講演者の招聘に助成金を使用する予定である。新型コロナウイルスの影響が今後も続くことが予想されるため、状況を確認しつつ出張や研究集会の開催は年度の後半に行うなどの配慮を行う。