2020 Fiscal Year Research-status Report
複雑な共鳴構造を持つ非線形分散型方程式の可解性について
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17K14220
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
平山 浩之 宮崎大学, 教育学部, 准教授 (90748328)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線型シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / 適切性 / 共鳴 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、レーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題について、以下の成果が得られた。
(1) 適切性についての先行結果の改善
高周波同士の相互作用から高周波が生成されるときにのみ共鳴が生じる場合については、先行研究により逐次近似の枠組みでほぼ最良の結果が得られている。一方で、高周波同士の相互作用から低周波が生成されるときに共鳴が生じる場合については、未解決部分が残されていた。本研究では、そのような場合に適用できるように、線形解に対する双線形ストリッカーツ評価を改良した。さらにその評価を応用することで、空間2および3次元における適切性についての先行結果を改善することが出来、未解決部分において逐次近似の枠組みでほぼ最良の結果を得ることに成功した。特に、この結果は先行研究では得られていなかったエネルギーが有限となる空間における適切性も含んでいる。
(2) 解写像の滑らかさについての結果
空間1次元で非線形相互作用における共鳴が生じない場合については、先行研究により2乗可積分な初期値に対する適切性は得られていたが、初期値が負の正則性を持つ場合の適切性は未解決であった。本研究では、初期値から解への写像が滑らかにならないことを示すことに成功し、先行研究における適切性の結果が逐次近似の枠組みで最良であることを明らかにした。
上記の結果はいずれも木下真也氏、岡本葵氏との共同研究によるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題について、先行研究における未解決部分を解明することに成功した。その結果については既に論文にまとめており、査読付き雑誌への掲載が決定している。
また、2018年度の研究で結果が得られて論文投稿中であった、球対称な初期値に対する非線形シュレディンガー方程式系の適切性についての論文が査読付き雑誌に掲載された。以上の理由から、状況は順調であると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題において、高周波と低周波の相互作用から高周波が生成されるときに共鳴が生じる場合の適切性について考える。そのような場合には初期値から解への写像が滑らかにならないことが知られており、逐次近似で解を構成することが出来ない。そこで、エネルギー法を利用した方法によって適切性を得ることを試みる。また、前年度以前から研究を行っているZakharov-Kuznetsov-Burgers方程式の解の漸近挙動の解明についても引き続き取り組む。
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| Causes of Carryover |
当該年度は新型コロナウイルス感染拡大の影響により、当初予定していた出張および研究集会の対面開催が困難となった。そのため、出張や招聘の旅費の支出が無くなり、次年度使用額が生じることとなった。次年度は研究遂行の際に必要となる書籍の購入、出張および研究集会開催に伴う招聘の旅費に予算を充てる予定である。ただし旅費については、研究集会等の対面開催が困難な場合にはオンラインでの開催が主体となるため、Web会議に用いるための物品費に予算を充てる。
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