2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K14224
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
齋藤 平和 東京理科大学, 基礎工学部教養(長万部), 講師 (30754882)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 二相流 / 最大正則性 / 半群 / レゾルベント問題 / ナビエ・ストークス方程式 / ナビエ・ストークス・コルトベーグ方程式 / 非有界領域 / R-有界性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．界面が非コンパクトな場合に対する二相ナビエ・ストークス方程式に付随するレゾルベント問題を考察し，低周波および高周波に対するロパチンスキー行列式の根の挙動を解明した．
２．Inhomogeneous incompressible fluidsの二相流を記述する方程式系に関する共同研究を行った．具体的には，一般領域における時間局所可解性および有界領域における時間大域可解性を明らかにした．本研究ではまず，方程式系をラグランジュ座標で書き直すことで，線形化問題を導出した．得られた線形化問題には，Maryani and Saito（2017）で示した最大正則性定理が適用でき，不動点定理と組み合わせることで時間局所可解性を明らかにした．有界領域の場合には，剛体運動に直交する関数空間を導入することで線形化問題に対する指数安定な最大正則性を示し，不動点定理と組み合わせることで時間大域可解性を明らかにした．
３．ナビエ・ストークス・コルトベーグ方程式の線形化問題を一般領域上で考察し，最大正則性を明らかにした．本研究ではまず，半空間上の一般化レゾルベント問題を考察し，部分フーリエ変換による解の具体的な表示を通してR-有界な解作用素の存在を明らかにした．特筆すべき点として，半空間の問題に関する昨年度の研究成果では方程式に現れる係数に対してある条件を仮定していたが，より詳細な解析を行うことでその仮定を外すことに成功した．本年度得られた半空間の結果と局所化の議論を組み合わせて，一般領域かつ変形数の場合に対してR-有界な解作用素の存在を示し，作用素値フーリエ掛け算作用素定理を適用することで上述の最大正則性を得ることができた．
４．コンパクトな界面により全空間が二つの領域に分けられている場合に対して，二相弱問題の一意可解性を明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．界面が非コンパクトな場合に対する二相ナビエ・ストークス方程式の研究は少し遅れている．既存の方法ではロパチンスキー行列式の根の挙動を求めることができず，別のアプローチを模索したために時間がかかってしまった．すでに新たなアプローチにより根の挙動を解明することができたので，現在は線形化問題に付随する半群の時間減衰評価の解析を継続中である．
２．界面がコンパクトな場合に対する二相ナビエ・ストークス方程式の研究に関しては，線形化問題の導出が完了し，その解析は順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
１．界面が非コンパクトな場合に対する二相ナビエ・ストークス方程式の研究について．レゾルベント問題の解表示に現れるロパチンスキー行列式の根の挙動はすでに得られているので，それを用いて半群の時間減衰評価の導出を目指す．また，線形化問題の解の高周波部分に対する最大正則性の証明を行う．
２．界面がコンパクトな場合に対する二相ナビエ・ストークス方程式の研究について．線形化問題の解析を行い，非線形問題を解くための準備を進める．
３．昨年度から開始したナビエ・ストークス・コルトベーグ方程式の研究について．本年度は外部領域の場合において局所減衰定理を示すことを目標としたが，同方程式の境界値問題の先行研究が少なく，本研究に適用できる結果がほとんどなかったため，予定通りに研究を遂行することができなかった．次年度は，有界領域の場合に専念して，局所減衰定理を証明するための準備を進める．
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| Causes of Carryover |
予定していた図書の購入が間に合わず，次年度に購入を見送った．
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