2018 Fiscal Year Research-status Report
Construction of stability theory of ordinary differential systems by fractal analysis
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17K14226
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
鬼塚 政一 岡山理科大学, 理学部, 准教授 (20548367)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ハイヤーズ－ウラム安定性(HUS) / HUS定数 / ボックス次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、2次元常微分方程式系の解の螺線軌道の長さとフラクタル次元を測り、漸近安定性の度合いを数値化した指標を手がかりに、フラクタル解析による安定性理論を構築することである。
本年度は特に常微分方程式及び差分方程式のハイヤーズ－ウラム安定性(HUS)を中心に研究を推進した。この安定性は、関数方程式の近似解と厳密解の近さ（精度）を保証する性質であり、コンピュータサイエンスにおける有用性が知られている。具体的には、近似解のε近傍を考察し、そのε近傍内に厳密解が常に存在する場合をHUSと言う。フラクタル解析で扱うボックス次元の定義においても解のε近傍の面積を考察するため、ε近傍をキーワードに、本年度はハイヤーズ－ウラム安定性を重点的に考究した。
本年度扱った方程式は次の通りである。微分及び差分方程式を含む dynamic equations on time scales、２種の刻み幅をもつ線形差分方程式、ダイヤモンドアルファ差分方程式、カラテオドリ型線形微分方程式、周期係数をもつ線形微分方程式。本年度は、これらに対するハイヤーズ－ウラム安定性を考察し、さらに、それぞれに対する最良HUS定数を与えることに成功した。HUS定数とは、近似解と厳密解の近さ（精度）を数値化したものであるため、例えば、εの誤差のある数理モデルと実モデルについて、それらの解の精度差を明らかにしたことになる。加えて、近似解のε近傍内に留まり続ける唯一の厳密解までも具体的に記述することを可能にした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度は、D. R. Anderson氏（Concordia College）との共同研究を６件開始・推進し、そのうち２件が既に出版され、１件がアクセプト、２件投稿中、１件引き続き共同研究中である。さらに、鬼塚の単著と大学院学生との共著、同大学田中敏氏との共同研究それぞれ１件が出版され、鬼塚の単著１件が2020年出版待ちの状況である。これらは何れもハイヤーズ－ウラム安定性に関する結果であり、常微分方程式及び差分方程式を扱っている。上記をまとめると、４件出版、２件出版待ち、３件投稿中、１件共同研究中となり、当該年度は予想以上の成果が得られ、研究が進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在、Ⅱ)準線形系の一種である半分線形系やスチュアート・ランダウ方程式系を中心に、テーマA) 解軌道の無限回転・有限回転の判定法の確立に取り組み、一定の結果を得ている。今後は、得られた成果を学術論文にまとめ、投稿することを目指す。次に、B) 螺線軌道の無限長・有限長の判定法の確立に着手したい。加えて、D. R. Anderson氏（Concordia College）との共同研究をさらに推進し、種々の方程式に対するハイヤーズ－ウラム安定性及び最良HUS定数を明らかにしたい。
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| Causes of Carryover |
次年度、京都大学数理解析研究所において、研究集会「常微分方程式における最近の動向とその発展 」部屋： 111号室、期間： 2019-11-13～2019-11-15、代表者： 鬼塚 政一(岡山理科大学理学部)を開催する運びとなり、海外研究者招聘に関する旅費の確保が優先されたため。
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