2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K14227
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
甲斐 伊都子 (橋本伊都子) 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 数学研究所専任研究所員 (70584639)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 圧縮性粘性流体 / 漸近安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.球対称バーガーズ方程式の解の希薄波への漸近レートの導出：一次元バーガーズ方程式では, 「希薄波」又は「衝撃波」が漸近形であるような境界条件でも, 高次元空間における同方程式の球対称問題においては「定常波」や「定常波と希薄波の重ね合わせ」が漸近形として出現することが最近の応募者の研究成果により明らかにされた. これまでの研究を通し, 球対称問題の解が, これらの新たに発見された漸近形への解の漸近レートを明らかにし，１次元バーガーズ方程式と同様の漸近レートであることを明らかにした．手法はL1エネルギー法とL2エネルギー法を組み合わせた手法を用いた.
2. 球対称バーガーズ方程式の非単調な定常波の存在と漸近安定性：一次元バーガーズ方程式においては，単調増加な定常波となる境界条件に関して球対称バーガーズ方程式ではいかなる定常波となるかについて考察を行った．研究を通して，予想に反して定常波は非単調であることが明らかになった．またこの非単調定常波は，初期擾乱の大きさが小さいという条件の下で漸近安定であることが明らかとなった．
3．3次元空間上における球対称バーガーズ方程式の漸近形の分類：3次元空間に限っては，これまでに得られた定常波の中で，臨界な定常波を用いて変数変換することにより，3次元空間上におけるバーガーズ方程式の球対称問題は1次元空間上のバーガーズ方程式に帰着できることが明らかとなった．一方で，1次元空間上におけるバーガーズ方程式の初期値・境界値問題は完全に分類されている．この１次元空間上における結果及び，臨界定常波を用いて3次元空間に限っては，衝撃波も込めて漸近形を完全に分類することに成功した．
（大阪大学 松村昭孝教授との共同研究）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在のところおおむね順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
1.３次元的初期擾乱に関する球対称解への漸近安定性について
近年，高次元空間上のバーガーズ方程式の球対称問題の解の漸近解析を行ってきた．その際，対象となる主流の定常解は球対称であり，その摂動としての非定常流も球対称という制限を課した．しかし実在する気体の爆発現象においては，たとえ小さな球対称の初期擾乱であっても流れの場は瞬時に非対称となり，それ故，摂動解は一般的な3次元の流れとして取り扱うことが自然である．このような現場の流体力学の要請に応えるべく主流の球対称定常解に非対称の初期擾乱を与えた場合について数学的理論を構築する．この方面の研究については，早稲田大学の小薗教授，山崎教授及び東北大学の小川教授等により開発されたNavierStokes方程式に対する半群の摂動理論の方法や，九州大学の川島教授により発展した高次元空間上の粘性保存則の平面波に対するエネルギー法等を駆使し高次元バーガーズ方程式固有の漸近解析を確立する．
2．Barotropic Modelの球対称問題の初期値境界値問題
圧縮性粘性流体を記述するNavier Stokes方程式(Barotropic Model)について，高次元空間における球対称問題の初期値境界値問題を研究する．私のこれまでのバーガーズ方程式に対する球対称問題の知見に基づき，双方の方程式の解について定性的および定量的な差異に着目することで，高次元Barotropic Modelについて漸近安定性の解明を行う．定常波の安定性理論に関しては，球対称問題において熊本大学の中村徹氏の結果が有名である. 中村氏の先駆的な研究手法を参考に，バーガーズ方程式の球対称問題に見られたような１次元空間での漸近挙動の差異が現れるかどうかに着目しながら研究を推進する．将来的には気体の爆発問題の数学的理論の構築へと発展させることを目標とする．
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| Causes of Carryover |
子供が1歳のため、昨年度は出張に殆ど行くことができず，研究費を翌年度分として請求した.
今年度は,学会出張(岡山大学)及び海外出張(中国科学院)を計画しており，研究に関する情報収集を積極的に行う．
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