2019 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical analysis and reaction diffusion approximation for pattern formations with nonlocal interactions
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17K14228
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| Research Institution | Future University-Hakodate |
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Principal Investigator |
田中 吉太郎 公立はこだて未来大学, システム情報科学部, 准教授 (80783977)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 非局所相互作用 / 反応拡散近似 / 非局所発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究課題の目的は，様々な空間と境界条件上で積分核つき相互作用を反応拡散系で近似し，積分核つき相互作用をもつ発展方程式（非局所発展方程式と呼ぶ）の1つの解析手法を確立することである．この積分核つき相互作用は，その定性的な形状がわかると，数値計算から発生するパターンを容易に調べることができるという利点がある．これらの数値計算から得られるパターンは，縞模様や，斑点模様など反応拡散系で得られるパターンに非常に似ているが，非局所発展方程式と反応拡散系の関係は不明であった．これらのことを動機として，研究代表者らは，与えられた非局所相互作用に対して，反応拡散系に書き換える方法を提案した．
周期境界条件が課された区間において，非局所発展方程式を提案し，任意の積分核をもつ非局所発展方程式の解が，ある補助的な拡散物質を重ね合わせることで，その反応拡散系の解で近似できることを示した．この理論から，ある積分核が拡散誘導不安定化を引き起こすことを理論的に示し，積分核つき相互作用の一つの役割を明らかにした．また1次元ユーグリッド空間においても同様の近似が成り立つことを示し，非局所発展方程式の積分核の形状によって，反応拡散系のパラメーターが決定できることを明らかにした．周期境界条件の結果と全領域の結果をそれぞれ論文としてまとめて投稿し，それぞれ出版に至った．
上記の研究の他に，代謝ネットワークやシグナルネットワークなどの空間的な相互作用のある任意のネットワークから，本質的にパターンを誘発する積分核を導出する新しい数理モデリングの手法を共同で開発した．この手法を用いると，任意の成分をもつネットワークを1成分や2成分の非局所拡散方程式に縮約することができる．これらの成果を論文としてまとめて，査読付きの海外の学術雑誌に提出した．
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