2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K14230
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限要素法 / 誤差評価 / 領域摂動 / 不連続Galerkin法 / Primitive方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究目的に掲げた4つのテーマは、(1) 非圧縮Euler方程式に対する"potentially singular solution"の解析、(2) 流入出を許容する境界条件の解析、(3) 領域近似を伴う有限要素法の解析、(4) 大気海洋の分野に現れるPrimitive方程式の解析である。本年度は、(2)(3)(4)のテーマについて研究上の進展があった。
(2)については、1つの境界面で区切られた2つの領域の一方でStokes方程式、もう一方でDarcy方程式を考え、それらが境界面上のBeaver-Joseph-Saffman条件を通して結びついた2層問題を考察した。境界面上では、法線方向の流出・流入は連続（ただし0ではない）であるが、接線方向の流れは一般に不連続となる。この問題に対して、不連続Galerkin法にもとづいた有限要素スキームを開発し、モデルケースに対する数値実験によって実際に近似解が厳密解に収束することを確かめた。
(3)については、Poisson方程式のNeumann境界値問題に対する最大値ノルム解析（前年度の結果）を、放物型問題すなわち熱方程式の場合に拡張した。より正確には、空間変数のみ離散化した問題を考察し、半群評価と最大正則性評価について、その離散版を証明した。滑らかな領域をフラットな三角形では厳密に分割できないことから生じる誤差（領域摂動誤差）は、放物型問題においても本質的に考慮しなければならないことが明らかになった。
(4)については、薄い領域におけるNavier-Stokes方程式（ただし、水平方向と鉛直方向について異方的な粘性係数を考えたもの）が、アスペクト比が0に向かう極限でPrimitive方程式に収束することを、最大正則性の手法にもとづいて証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画から見ると、本研究課題の進捗状況には微妙な点がある。まず、「研究実績の概要」で述べた研究テーマ(1)については、前年度までに数値実験は行ったものの、数値計算結果を的確に説明し、かつ厳密に証明可能な理論的結果を導くことができていない。
また、研究テーマ(2)については、境界上の流入出がNavier-Stokes方程式の解の有限時間爆発と関係あるかどうかを追求することが当初の目標であったが、本年度得られた2層問題の結果はやや方向性が異なっている。
その一方で、2層問題の結果はテーマ(2)(3)の両方と関連するものとして興味深く、また研究テーマ(3)(4)に関しては新しい成果が得られたことから、本研究課題全体としては、おおむね順調に研究が進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究テーマ(1)に関して、「研究実績の概要」で述べた困難を残りの研究期間内に克服することは率直に言って厳しい。そのため、テーマ(1)の遂行は断念する方向で考えている。
テーマ(2)については、少し視点を変えて、流入出がNavier-Stokes方程式の解を不安定にさせないためには、どのような境界条件が許容されるかということを理論的に考察する予定である。また、Stokes-Darcy問題に対して開発した数値計算スキームの誤差評価を証明することも目標にする。
テーマ(3)について、放物型問題の場合に最大値ノルム誤差評価を得ることを目標とする。また、これまでは1次の有限要素近似のみ考えてきたが、高次要素や高次スキームの場合に理論誤差評価を得ることを目指す。
テーマ(4)に関しては、これまでの結果を論文にまとめて、国際論文誌に出版することを目指す。
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