2019 Fiscal Year Annual Research Report
Research on PDEs for fluids in terms of numerical and mathematical analysis
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17K14230
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / Primitive方程式 / 最大正則性 / 不連続Galerkin法 / 領域摂動 / 摩擦型境界条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究目的に掲げた4つのテーマは、(1) 非圧縮Euler方程式に対する"potentially singular solution"の解析、(2) 流入出を許容する境界条件の解析、
(3) 領域近似を伴う有限要素法の解析、(4) 大気海洋の分野に現れるPrimitive方程式の解析である。本年度は、(2)(3)(4)のテーマに関連して新たな研究の展開を模索した。
(2)については、摩擦型境界条件を課したNavier-Stokes方程式の非定常問題を考察し、先行研究よりも広い解のクラス（詳しく述べると，初期値の適合性を弱めた解のクラス）において強解を構成することに成功した。
(3)については、領域近似を考慮した不連続Galerkin法の解析を本格的に開始するための布石となる問題を考察した。具体的には、三角形分割をスタガード格子と解釈し、HDG法 (hybridized discontinuous Galerkin method)の考え方を応用したSHDG法を移流拡散方程式に応用した数値計算スキームを構築した。このスキームは上流化のアイデアが自然に取り込まれた形になっており、拡散係数に依存しない誤差評価が得られることが分かった。
(4)については、前年度に得た、異方拡散係数を持つNavier-Stokes方程式がアスペクト比を0にする極限においてPrimitive方程式に収束するという結果の証明を短縮できることが判明した。それまでは異方Navier-Stokes方程式の時間局所可解性を重視して議論を展開していたが、異方Navier-Stokes方程式とPrimitive方程式の「差」を取ることによって得られる誤差方程式の方に着目することによって、時間大域可解性の理論が適用可能となり、論理展開が非常に明瞭な証明を得ることに成功した。
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