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17K14236
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
籾原 幸二 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (70613305)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 差集合 / 歪対称アダマール差集合 / 対称アダマール差集合 / アダマール行列 / 強正則グラフ / ペイリー差集合族 / アダマール差集合族 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究目的は, 昨年度の研究において計算機を用いて発見した, 有限幾何と円分類を用いて解釈できる, 有限体上の歪対称アダマール差集合の例を, 無限系列に一般化するための理論構築を行うことであった. また, 対称アダマール差集合や差集合族の構成を行うことであった. 本年度の研究では, まず, Wilson-Xiang(1997)が発見した対称アダマール差集合の例に加え, 計算機を用いて位数4×(29の4乗)次の新たな例の発見を行い, それらを一般化することで, 任意の4×(素数の4乗)次の対称アダマール差集合の存在性を証明することに成功した. 特に, 得られた位数の対称アダマール差集合の構成法は, Chen以外のものは知られていないため, 異なる構成法が与えられたことは意味のある結果であると言える. この結果は, Xiang氏との共著論文として, 国際学術誌に投稿中である.
また, 円分類を用いた有限体上の差集合/強正則グラフ/自己相関性の強い数列/関連する有限幾何構造に関する最近の研究結果について, Xiang氏とWang氏と共同でサーベイ論文を執筆し, 国際研究集会の査読付き論文集へ投稿・アクセプトされた.
その他, Turyn型積構成法を応用した, アダマール差集合族の分解からペイリー差集合族を構成する新手法を考案し, 4×(非平方奇数)次の新たなアダマール行列の無限系列を得ることに成功した. アダマール行列の存在性に関する研究は, 近年国内外問わず停滞しているため, 今回新たな位数でアダマール行列を構成できたことは, 価値のあるものであると言える. この結果は, Leung氏との共著論文として, 国際学術誌に投稿中である.
また, 今年度の研究結果について, 1つの国内研究集会, 1つの国際会議で講演を行った.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的は, 有限幾何と円分類を用いて解釈できる, 有限体上の歪対称アダマール差集合および対称アダマール差集合の構成を行うことであった. 対称アダマール差集合の構成については, 計画通り, 計算機を用いて例の発見とその一般化という流れで新たな構成法を提案することに成功した. 4×(奇素数冪)位数の対称アダマール差集合の構成法は, Chen(1997)によるもの以外知られておらず, 新たな構成法が得られたことは興味深い結果であると思われる. また, アダマール差集合族に関しては, ペイリー差集合族との新たな関係性を見出すことによって, 新たな位数のアダマール行列の無限系列を得ることに成功した. この直近の20年で, アダマール行列の無限系列は得られていないことに鑑み, これらの研究成果は, 非常に意義のあるものと考えられる. これらの観点から, 研究はおおむね順調に進展しているといえる. 特に, 今年度, これら研究結果で2本の論文が国際学術誌に投稿することができ, さらに加えて, 1本のサーベイ論文(査読付き)を国際研究集会論文集に出版することができたという点も強調したい.
一方, 歪対称アダマール差集合においては, 数多くの例を計算機で発見し, 低い拡大次数でそれらの例の一般化を行うことに成功したが, 一般の拡大次数においては未だ一般化に至っていない. 例が計算機を用いて既に構成できているという点を考慮に入れ, 今後それらを高次拡大体に拡張できる可能性は十分あり, 今後の進展が期待される. また, 得られた歪対称アダマール差集合の平方剰余差集合との非同値性については, 計算機により小さな位数で非同値であることが分かっているが, 理論的な証明までは至ることができなかった. 引き続き, 今年度も研究を行っていく.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は, これまでの研究で培った「有限体から良い指標値を持つ部分集合を選ぶ手法」を多重集合に拡張することで, Griesmer符号の新しい構成法の開発を行う. Griesmer符号の検査行列の各列を射影空間の点と解釈することで, 射影空間の点集合の多重部分集合として解釈でき, また, 符号の重み分布は, その多重集合の指標値で決定できる. まずは, これまでの研究手法と相性が良い, 重みが2種類かつ集合が多重集合である場合を扱う. そのような低次元のGriesmer符号の例は, 既に先行研究で整理されており, そこから良い例を選択し, 無限系列への一般化を行う. これにより, 先行研究では知られていない新たなパラメータを持つGriesmer符号の構成を行う.
次に, 昨年度, 歪対称アダマール差集合の例を計算機で発見し, 低い拡大次数でそれらの例の一般化を行ったが, 一般の拡大次数においては未だ一般化に至っていなかった. 本年度は, この一般の拡大次数へ拡張についても, 継続して研究を進める. 特に, 3次や5次などでは, 所望の自己同型群をもつ歪対称アダマール差集合例は数多く存発見できているが, 高次の場合は一般化できるほどの数の例は見つかっていないため, まずは7次や9次拡大体の場合に計算機を用いて例の発見を行い, 一般化を試みる. さらには, これらの拡大次数で統一的な理論的証明を試み, 一般の拡大次数での証明がうまく進むための集合の選択を行う. この研究を通して, 先行研究で知られている歪対称アダマール差集合とは非同値の差集合の構成を行う.
本研究内容に関して, 少なくとも2つ以上の国内・国際研究集会で研究発表を行いたい.
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