2020 Fiscal Year Annual Research Report
Versatile construction of highly accurate numerical methods based on potential theory
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17K14241
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
田中 健一郎 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 准教授 (70610640)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 重み付きハーディ空間 / 数値積分公式 / ポテンシャル論 / 補間型関数近似公式 / 凸エネルギー最適化問題 / 再生核ヒルベルト空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度には，まず，ポテンシャル論に基づいた数理最適化による関数近似公式と数値積分公式について，これまでの結果をまとめた解説記事の出版が決定した．これは，Sinc数値計算法に関連する近年の研究論文をまとめた書籍内の一つの章である．また，前述の方法で構成した数値積分公式の評価を述べた指導学生との共著論文が，論文誌に掲載された．さらに，関数近似公式については，これまでに開発したものと形の異なる公式の開発を行い，精度の数学的評価を与えた．その結果，新たに考案した公式も，これまでの公式と同等の高い精度を持つことが示された．これは指導学生との共同研究である．
次に，昨年度に今後の方針で述べたとおり，高次元の問題への拡張に取り組んだ．この際には，これまでと同じ一変数解析関数からなる関数空間の設定をそのまま用いることはできないため，関数空間の設定について検討を行った．その結果，再生核ヒルベルト空間における関数近似公式や数値積分公式の構成に取り組むことを考えた．この空間においては，数値積分の場合には，誤差表示式がある種のエネルギー関数と見なせる．そのため，近似公式の構成問題とポテンシャル論との関係が示唆される．この関係の完全な解明は今後の課題として残っているものの，部分的な結果は得られた．具体的には，ガウス核に対する一変数関数の再生核ヒルベルト空間の場合に，関数近似のための最適標本点をとる問題が，近似的に外部場付き対数エネルギー最小化問題に帰着されることを示した．さらにこの問題が凸であることを示し，その解として求まる標本点を用いた関数近似公式の精度評価も与えた．これは一変数の問題の場合に限定されている点で不満が残るが，一般化への可能性を示唆する点で有用である．また，多変数の場合の成果としては，乱雑に与えた初期標本点配置を逐次改良する算法を提案・解析した．これは指導学生との共同研究である．
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