2018 Fiscal Year Research-status Report
A development of a particle method with high accuracy for flow problems and its mathematical justification
| Project/Area Number |
17K17585
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
井元 佑介 京都大学, 高等研究院, 特定助教 (60793982)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 数値解析 / 粒子法 / 数値流体力学 / 安定性 / 収束性 / 非圧縮性Navier-Stokes方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，津波のように解析領域が複雑に変形する問題に対する数値シミュレーション手法として広く利用されている粒子法を数学的に捉え直し，流れ問題に対する新たな高精度粒子法の開発とその誤差解析による数学的正当化を推進する．
本研究では2018年度までに次のような研究結果を得ている．初年度(2017年度)は，研究代表者らがこれまで行ってきた粒子法に対する数値解析の知見を用いて，流れ問題に対する粒子法の新たなスキームを提案し，その収束性を数値的に示した．提案したスキームは非圧縮性Navier-Stokes方程式にある条件下で厳密に収束するペナルティ問題を支配方程式とし，空間離散化に研究代表者らが提案している一般化粒子法を用いたスキームである．このスキームに対し，ペナルティ問題の収束条件と，研究代表者らの成果である粒子法の誤差評価の知見を用いて，本スキームの収束性の十分条件を予想し，その正当性を数値実験により示した．さらに，流れ問題に対する粒子法のスキームで現れる圧力Poisson方程式に対応するPoisson方程式を考え，そのPoisson方程式に対する粒子法の一意可解性と安定性を，粒子法における離散Sobolevノルムを導入することによって証明した．
次年度（2018年度）は，2017年度の数学的結果を拡張し，非圧縮性流れ問題に対する粒子法の一意可解性と安定性を証明した．本研究では，離散化パラメータに対する3つの条件“粒子分布の接続性”，“粒子分布の準正則性”，“時間刻みの制約条件”を導入することで，一意可解性と安定性を示している．また，現在広く利用されている流れ問題に対する粒子法の安定化スキームに対して，その安定化項をエネルギー最小化問題を用いて理論的な導出を行った．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
粒子法は，有限要素法や有限体積法のような数値解析手法と比較して，安定性や収束性の証明のような数学的評価が非常に少なく，実用的な問題設定のもとではほとんど得られていなかった．そのため，安定な数値計算結果を得るための十分条件や，精度良い数値計算結果を得るためパラメータの設定の指針などが明らかになっておらず，実際の数値計算のトライ＆エラーでこれらの条件を推定していた．
今年度に本研究で示した非圧縮性流れ問題に対する粒子法の一意可解性と安定性は実際に用いられている粒子法に対して数学的評価を示したものである．例えば，“時間刻みの制約条件”は従来経験的に知られていた制約条件と一致しており，その制約条件の上限を具体的に示した．また，“粒子分布の準正則性”は粒子分布の一様性を表す指標に対する制約条件であり，その指標は従来経験的に知られていた指標と対応関係はあるものの，具体的な式は異なる．したがって，本指標を用いて粒子法の安定性を改善することが望める．一方で，本研究で示した安定化スキームの理論的導出では，粒子分布の一様性に関する従来の指標に対する制約条件を満足する効果があることを示している．したがって，安定化スキームにおける従来の指標を本研究で導入した指標に置き換えることで，本研究を具体的に応用することを画策している．以上より，今年度は示した実用的な問題設定のもとでの粒子法の数学的評価は本研究計画の達成目標の1つであり，その具体的な応用の指針も定めることができたので本研究の進捗はとても良好であると言える．さらに，上記の結果は全て論文化され，査読付き論文誌に公表されている．
|
| Strategy for Future Research Activity |
現在までに，流れ問題に対する粒子法の数学的な評価とその応用のための数学的あるいは工学的な知見も得られてきている．そこで，後半では具体的な応用に向けてより高安定・高精度な粒子法の開発とV&Vを中心に実施していく．具体的には，2018年度に得られた非圧縮性流れ問題に対する粒子法の安定性の条件を満足する安定化スキームを開発し，Taylor-Greenの渦流れのような厳密解のある問題の数値シミュレーションを通して検証を行う．さらに，Cavity問題や水柱崩壊問題のようなベンチマーク問題で妥当性を確認していく．さらに，より現実的な問題に応用するために工学や情報の研究者と共同して社会的な問題にも応用していきたい．また，より複雑な問題設定における粒子法の数学的評価も引き続き行っていく．
|
