2019 Fiscal Year Research-status Report
A development of a particle method with high accuracy for flow problems and its mathematical justification
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17K17585
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
井元 佑介 京都大学, 高等研究院, 特定助教 (60793982)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 粒子法 / 数値流体力学 / 安定性 / 収束性 / 誤差評価 / 非圧縮性Navier-Stokes方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、津波のような解析領域が複雑に変形する物理現象に対する数値シミュレーション手法として広く利用されている粒子法を数学的に捉え直し、流れ問題に対する新たな高精度粒子法の開発とその誤差解析による数学的正当化を推進する。
本研究では2019年度までに次のような研究結果を得ている。初年度(2017年度)は、流れ問題に対する粒子法の新たなスキームを提案し、その収束性を数値的に示した。提案手法は提案したスキームは非圧縮性Navier-Stokes方程式にある条件下で厳密に収束するペナルティ問題を支配方程式とし、空間離散化に研究代表者らが導入した一般化粒子法を用いている。さらに、流れ問題に対する粒子法のスキームで現れる圧力Poisson方程式に対応するPoisson方程式を考え、そのPoisson方程式に対する粒子法の一意可解性と安定性を、粒子法における離散Sobolevノルムを導入することによって証明した。次年度（2018年度）は、2017年度の数学的結果を拡張し、非圧縮性流れ問題に対する粒子法の一意可解性と安定性を証明した。本研究では、離散化パラメータに対する3つの条件“粒子分布の接続性”、“粒子分布の準正則性”、“時間刻みの制約条件”を導入することで、一意可解性と安定性を示している。また、現在広く利用されている流れ問題に対する粒子法の安定化スキームに対して、その安定化項をエネルギー最小化問題を用いて理論的な導出を行った。今年度（2019年度）は空間離散化が安定化スキームに対応する非圧縮性Navier-Stokes方程式の時間離散方程式を導入し、その誤差評価に基づいて安定化パラメータの最適化を行った。さらに、3次元の激しい流れを伴う鉛直噴流問題に適用し、最適化された安定化パラメータの有効性を数値的に確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では粒子法の数学的正当化とその工学への応用を目標としている。研究期間の前半（2017～2018年度）では一般化粒子法について安定性や収束性のような数値解析手法が満たすべき基本的な性質を数学的または数値的に示した。後半（2019年度～2020年度）は工学へ応用するために、今年度は前半に得られた数学的知見を用いて実際に応用されている安定化スキームのパラメータについて検討し、実問題での検証を行った。本研究では、非圧縮性Navier-Stokes方程式とその安定化スキーム（時空間離散方程式）の中間的な時間離散方程式を導入し、その誤差評価の上限を最小化するという意味で最適な安定化パラメータの値を導いた。その安定化パラメータは時間刻みと正の相関を持ち、これは経験的な知見と一致する。さらに、実問題への応用を想定し、3次元の激しい流れを伴う鉛直噴流問題に適用し、推定された安定化パラメータにおいて計算安定性を示した。以上から、2019年度は前半に示した結果を応用し、実問題を想定した問題で検証を行ったので、本研究は順調に進展している。さらに、上記の結果は論文化され、査読付き論文誌に公表されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度までに実問題への応用に向けた粒子法の改良と実問題を想定した検証を行った。最終年度は実問題への適用を実施していく。ただし、実問題への応用は大規模計算用のコードと十分な計算資源が必要となるため工学の共同研究者と共同で進めていく。また、粒子法の数学的正当化も引き続き実施していく。特に安定化項にようる効果と、申請者が示した粒子分布に対する正則性の関係性について研究していく。また、論文や学会講演などによる研究の公表も引き続き実施していく。
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| Causes of Carryover |
出張を予定していた2019年度日本応用数理学会研究部会連合発表会が中止になったため。今年度は応用計算のために物品費を多く計上しており、そこに上乗せしている。
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