2021 Fiscal Year Research-status Report
Existence of solutions of free boundary problems of two-phase fluids and their asymptotic behaviors
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17K17804
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
寺澤 祐高 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (90546160)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 二層流体問題 / 拡散界面モデル / カーン・ヒリアード方程式 / 非局所自由エネルギー / 局所自由エネルギー / 局所漸近 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、二層流体の拡散界面モデルに対して、その非局所モデルの解が適切なパラメーターをゼロにした時、局所モデルの解に収束するかどうかについて調べた。二層流体の拡散界面モデルとして、古くは、Hohenberg-Halperin('77)が知られている。最近、Abels-Garcke-Gr\"unn('11)によって、二つの流体の密度が異なる場合のモデル(AGGモデル）が導入され、弱解の存在、性質、一意性などが盛んに研究されている。一方、Frigeri('16)によって、AGGモデルの非局所版（自由エネルギー密度が局所項でない場合）が導入され、弱解の存在が示された。本研究では、局所モデルの解と非局所モデルの解の間の関係について調べた。より具体的には、Helmut Abels氏(ドイツ・レーゲンスブルク大学）との共同研究により、非局所モデルに適切なパラメーターを導入し、その解が局所モデルの解に、パラメーターをゼロに近づけると、収束すること（局所漸近）を示した。それには、Davoli-Scarpa-Trussardi('21)による、カーンヒリアード方程式の解の非局所-局所収束（局所漸近）の結果が重要となった。また、本結果の証明にあたり、Abels-Depner-Garcke('12)によるAGGモデルの弱解の存在の手法を一部参考にしている。また、小薗英雄氏（早稲田大学/東北大学）、若杉勇太氏（広島大学）との共同研究により、定常Navier-Stokes方程式の弱解に対称性およびあるノルムの有界性を課した時に、どのような解の減衰が得られるかについて、昨年度に引き続き、研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
二層流体の拡散境界モデルの、非局所-局所収束（局所漸近）について、異なる密度の場合に、満足の行く結果が得られたため。二層流体の拡散境界モデルの解の漸近挙動についての結果は、未だ得られていないが、それに代わり、前記の結果が得られたため、研究は順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
異なる密度を持つ二層流体問題の解の存在に関しては、Helmut Abels氏との以前の共同研究で得た、化学ポテンシャルが領域ラプラシアンを伴う、拡散境界モデルの解の存在の結果がある。その結果に関して、今回得た結果と同様の、非局所-局所収束（局所漸近）の結果を得たいと考えている。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、当初予定していた出張がなくなったため。
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