2020 Fiscal Year Research-status Report

モジュライ理論から見たCalabi-Yau多様体とFano多様体のミラー対称性

Research Project

Project/Area Number	17K17817
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	金沢篤京都大学, 理学研究科, 特定准教授 (40784492)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	ミラー対称性 / Calabi-Yau多様体 / アトラクター機構 / K3曲面 / 一般化Calabi-Yau構造 / 剛複素構造 / 剛Kahler構造
Outline of Annual Research Achievements	今年度は主にアトラクター機構と一般化K3構造に関して研究した。アトラクター機構とは、物理学者Strominger等によるブラックホールに関する研究に現れた概念である。数学的にはCalabi-Yau多様体の複素構造のモジュライ空間の特殊な構造であり、Mooreの研究により数学者が理解できる形となった。我々はアトラクター機構の厳密な数学理論とKahlerアトラクター機構(アトラクター機構のミラー理論)の構築に取り組んだ。我々の研究の動機は主に2つある:(1)アトラクター機構はCalabi-Yau多様体の複素構造のモジュライ空間特有の構造で、Calabi-Yau多様体の新しい研究手法を提供すると考えられる。(2)アトラクター機構をミラー対称性の観点から考察することは自然であり, Kahler構造のモジュライ空間に関する新しい知見が得られると期待される。今年度は、昨年度の研究を基にアトラクター配置なる概念を導入し、それがミラー対称性においてKahler錐の有理構造と関係することを基本的な場合に示した。この研究の過程においてK3曲面の場合に剛複素構造が自然に現れることが分かり、そのKahler類似である剛Kahler構造なる概念を導入することに成功した。剛Kahler構造の存在は本分野の研究者を長年悩ませてきた問題である。さらにK3曲面の剛Kahler構造は一般化K3構造(Hitchin、Huybrechtsによる一般化CY構造の2次元版)の枠組みで自然に理解できることを示し、副産物として長年未解決であった剛K3曲面(塩田・猪瀬K3曲面)に関するミラー対称性を解決することができた。以上のように、今年度は当初の計画を超える研究進展があった。前半の研究はプレプリントとして纏め、後半は現在執筆中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 物理学に由来するアトラクター機構の数学的基礎付けだけでなく、独自にアトラクター配置の概念を導入し、それがミラー対称性においてKahler錐の有理構造と関係することを基本的な場合に示したことは満足のいく結果である。また特別な場合(K3曲面)ではあるものの、自然な形で剛Kahler構造の概念を導入することに成功し、それが一般化K3構造(Hitchin、Huybrechtsによる一般化CY構造の2次元版)と関係することを明らかにした点は当初の予想を超える結果である。
Strategy for Future Research Activity	当初予想した以上に興味深い結果が得られているが、より一般の場合を考察することと詳細をつめることに時間がかかり、論文の執筆が遅れている。今年度が最終年度であるのため、結果を纏めることを第一目標とする。また招待講演や研究集会の開催を予定しており、当該研究分野の研究者との情報交換を通してして研究をさらに発展させて行くつもりである。
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの影響で、共同研究者の来日延期や研究集会の中止が重なったため。