2021 Fiscal Year Research-status Report
モジュライ理論から見たCalabi-Yau多様体とFano多様体のミラー対称性
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17K17817
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
金沢 篤 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 准教授 (40784492)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ミラー対称性 / Calabi-Yau多様体 / アトラクター機構 / K3曲面 / 一般化Calabi-Yau構造 / 剛複素構造 / 剛Kahler構造 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アトラクター機構と一般化Calabi-Yau構造に関して主に研究した。アトラクター機構とは、物理学者Strominger等によるブラックホールに関する研究に現れた概念であり、数学的にはCalabi-Yau多様体の複素構造のモジュライ空間の特殊な構造である。昨年までのアトラクター機構の研究の過程で、一般化Calabi-Yau幾何とミラー対称性の相性の良さがK3曲面に関して観察されており、我々は一般化K3曲面のミラー対称性の定式化や剛Kahler構造の導入に成功し、K3曲面のミラー対称性をより広く自然な枠組みで議論することを可能にした。今年度はまずこれまでの研究成果を整理し、2本の論文として纏めた。一方で、この方向の研究をさらに推し進めて、(1)ブラウアー群との関係、(2)複素3次元の一般化Calabi-Yau幾何の解析、にも取り組んだ。(1)に関しては、特異K3曲面の場合と同様にDolgachevのミラー対称性の定式化の例外的な状況になっており、我々が導入した一般化Neron-Severi格子と一般化超越格子の捩れとして理解できると予想しているが、完全な定式化には至っていない。(2)に関しては、非自明な具体例の構築が難しい状況であるが、量子補正が存在しないアーベル多様体などの場合に計算を進めた。特に一般化Calabi-Yau構造がコホモロジーに定める新しい整構造の基本的性質を調べた。K3曲面の場合には剛Kahler構造など真に新しい結果が得られており、一般化Calabi-Yau幾何の観点から、ミラー対称性の新たな基本問題の創出と研究手法の開発が期待できると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り、今年度の前半はこれまで得られた研究成果の整理を行い、2本の論文として纏めた。後半は、この方向の研究を発展させるべく複素3次元の一般化Calabi-Yau幾何の具体例の解析に取り組んだ。得られた観察は今後の本研究の基礎となるものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
K3曲面に関しては, 一般化Calabi-Yau幾何とミラー対称性の理解がある程度進んだので, 最も重要だと考えられる3次元Calabi-Yauの場合に取り組みたい。具体的には、(1)一般化Calabi-Yau構造のモジュライ空間の構造の解析、(2)一般化Calabi-Yau構造がコホモロジーに定める整構造の解析、を重要課題として考えている。特に(2)はKahler類の非線形化と剛Kaher構造に関係しており、ミラー対称性の研究に本質的な進展をもたらしつつあることから優先的に研究する予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で、研究集会の中止や共同研究者の来日延期が重なったため。国内旅費と物品費に当てる予定である。
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