2018 Fiscal Year Research-status Report
発展方程式の解に対する指数関数行列を用いた精度保証付き数値計算法
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17K17948
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
木村 拓馬 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (60581618)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 数値計算 / 数値解析 / 微分方程式 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，発展方程式の解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を特定する精度保証付き数値計算法の開発である．解の存在を示し数値解の誤差を厳密評価することで解の存在範囲を特定することができる．
今年度は主に線形放物型偏微分方程式を対象として，初期値境界値問題および周期境界値問題の数値解に対する誤差評価法について研究を行い，一定の成果を得た．
周期境界値問題については，前年度までに得られた初期値境界値問題に対する手法の応用・拡張によって，周期が既知のときの数値解に対する誤差評価を行った．２種類のノルムについて誤差評価式を導出し，それらが時間方向の刻み幅を空間方向の刻み幅の2乗にとったときに実際の誤差と誤差評価式とのオーダーが同じという意味で最良オーダーな誤差評価であることを確認するとともに，計算機による数値計算の例を用意した．この成果について，査読付き国際会議で口頭発表を行い，論文にまとめて国際的な査読付き学術誌に投稿，投稿論文をプレプリントアーカイブに公開した．
https://arxiv.org/abs/1904.06067
初期値境界値問題については，これは中村学園大学の橋本弘治氏の研究成果が主であるが，本研究課題で扱う行列指数関数を用いた近似解を挟む三角不等式によって，時間空間ともに有限要素近似を行って得られる数値解に対する誤差評価式を導出できている．この成果については，共著者として参加した論文を国際的な査読付き学術誌に投稿，投稿論文をプレプリントアーカイブに公開した．
https://arxiv.org/abs/1806.07054
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画とは若干異なるものの，査読付き国際会議での研究発表，国際的な査読付き学術誌に論文２編を投稿するなど，本研究課題に関する成果を得られている．
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| Strategy for Future Research Activity |
本課題の具体的な目標は，「非線形放物型偏微分方程式の初期値境界値問題に対する解の存在証明と数値解の誤差評価法」「放物型偏微分方程式の時間周期解に対する解の存在証明の例を示す」の2点である．
次年度は，これまでの研究成果を基礎とし，特に非線形放物型方程式を対象として，周期境界値問題および初期値境界値問題に対する解の存在証明と数値解の誤差評価についての研究を進める．
周期境界値問題については，行列指数関数を用いたスキームで非線形方程式の数値解を求めるとき，刻み幅を小さくしても残差が小さくならない数値例がみつかっており，スキームの再考を含めて研究を進める．加えて，線形ないし非線形方程式について，初年度に得られた研究成果と同様に，解の滑らかさに関する仮定を加えた場合により高精度な誤差評価が導出できるか検討したい．
初期値境界値問題については，行列指数関数を用いた定式化が非常に複雑なようであり進捗が遅れているが，これまでに提案してきた非線形問題に対する手法と同様の誤差評価をめざす．これは線形化された残差方程式を導出，数値解を中心としたゼロ付近に不動点があるような不動点形式に変形し，ゼロ中心のボールを候補者集合とする不動点定理を用いて解の存在範囲を検証する．
加えて，できればではあるが，産業・経済等に関連する実践的な例題に対する検証例についても検討したい．
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| Causes of Carryover |
学内業務により研究会への参加１件を取りやめたため101,051円の未使用額が生じた．
次年度は積極的に成果発表を行う所存であり，これにより当該年度の未使用額を適切に使用したい．
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