2020 Fiscal Year Research-status Report
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17K18229
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
赤岩 香苗 京都産業大学, 情報理工学部, 准教授 (30771878)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 逆固有値問題 / 離散可積分系 / 全非負行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
指定した固有値をもつ行列を作成する問題を逆固有値問題という。逆固有値問題は、作成する行列の性質や形によって難易度が異なる。とりわけ、すべての小行列式が非負である全非負（totally nonnegative, TN）行列の逆固有値問題の解法はほとんど知られていない。
具体的に解を書き下せる非線形方程式の特別なクラスを可積分系という。時間変数を離散化した離散可積分系と呼ぶ。代表的な離散可積分系の1つである離散戸田方程式は、3重対角行列の固有値計算法として有名な商差（quotient-difference, qd）法の漸化式と一致する。この発見から、離散可積分系を起源とする固有値計算法がいくつか提案されてきた。
報告者は、離散可積分系と固有値計算法の関係に着目し、離散可積分系に基づく逆固有値問題の解法の定式化に成功している。最近では、簡約条件付きの離散2次元戸田方程式に基づき、任意の（互いに素でない）帯幅をもつ行列の逆固有値問題の解法の開発を行った。しかしながら、任意の帯幅をもつ行列の逆固有値問題に対する解法では、初期値として固有値と任意パラメータを指定するが、どのようにパラメータを設定すれば作成される行列がTN行列になるのか分かっていなかった。
2020年度は、簡約条件付きの離散2次元戸田方程式に基づく解法において、作成される行列がTN行列になるようなパラメータの設定方法を発見し、発見した設定方法がTN行列になることの証明を与えた。また、証明ができた設定方法以外にも、作成される行列がTN行列になるようなパラメータの設定方法がないか数値実験から考察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
簡約条件付きの離散2次元戸田方程式に基づく解法において、作成される行列がTN行列になるようなパラメータの与え方を発見することができたのは進展であったが、コロナ禍による講義の対応等に追われ全体としては研究が進まなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度に実施予定だった内容をもとに研究を進める。2019年度の結果をもとに、直交多項式に関する最近の研究結果等も考慮しながら、より広いクラスの逆固有値問題の解法の定式化を目指す。構成される行列がTN行列になる条件についても、既存の結果が適用できるか検討する。また、時間発展においてTN性を保存するような性質をもつ連続力学系に対して、これまでによく知られている可積分系の離散化手法を利用することで、新たな離散力学系の導出を試みる。両者の結果の対応関係を調査していく。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、参加予定の学会・研究会・国際会議がオンライン開催・延期となり、旅費を使用しなかったため。また、オンライン授業の準備等でコロナ禍の影響で研究が遅れたため。引き続き出張は難しいと考えられるため、オンラインでの会議参加等や数値検証に用いる計算機等の購入を検討する。
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