Quantization of the fundamental group by dual quantum group

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K18728
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2020-03-31
• Keywords: 結び目 / 表現 / 双曲構造 / 量子群 / ３次元多様体

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目標は、結び目群の SL(2, C) 表現の量子化を構成し、これをもとに結び目補空間の双曲構造の量子化を構成しようとするものである．リー群 SL(2, C) の量子化としては、神保と Drinfeld による普遍展開環の量子化がよく知られているが、これはリー環の量子化に当たるものである．これに対し、ここでは、結び目補空間の基本群が表現されるリー群 SL(2, C) の量子化を考えているため、SL(2, C) の元を表す２X２行列の行列成分を SL(2, C) 上の関数と見て、これらで生成される関数環を考え、それを量子化したものをもちいて、結び目群の SL(2, C) 表現の量子化を構成することを目指している．このような量子化は、Woronowicz によるものが知られているが、これは SU(2, C) の量子化であって、SL(2, C) の量子化ではないので、まず Majid による組紐型の量子 SL(2, C) に注目し、これを用いて SL(2, C) 表現の量子化の構成を試みた．
この組紐型の量子 SL(2, C) を用いた結び目群の SL(2, C) 表現の量子化については、結び目の図から出発し、ライデマイスター変形やマルコフ変形での不変性を示すことができ、量子化と呼ぶべきものの構成を行うことができた．さらに、指標の量子化に制限することによって指標多様体と呼ばれるものについても、その量子化も複数の例で構成することができた．
また、この研究の過程で、Majid による組紐型の量子 SL(2) に対しても、braided comutativity に伴う性質を導くことができた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究の目標は、結び目群の SL(2, C) 表現の量子化を構成し、これをもとに結び目補空間の双曲構造の量子化を構成しようとするものであるが、Majid による組紐型の量子群をもちいた量子化の構成を行うことができ、また、指標多様体の量子化にも幾つかの例で成功するなど、順調に進んでいる．

Strategy for Future Research Activity

リー群 SL(2, C) の量子化として、組紐型の量子 SL(2, C) 以外のものも考えられるので、これについても結び目群の表現が拡張するかどうかを調べる．また、指標多様体の量子化について目処が立ったので、A-多項式と呼ばれる、メリディアンとロンジチュード双方の表現の指標の関係を表す多項式についてもその量子化を構成する．また、量子化された表現に対応する幾何構造についても考察する．

Causes of Carryover

平成２０年度に開催される結び目の体積予想に関する国際研究集会の開催の際により多くの外国人研究者が招聘できるよう一部の資金を残しておいた．

Research Products

• [Int'l Joint Research] チューリッヒ連邦工科大学(スイス)
  • Country Name: SWITZERLAND
  • Counterpart Institution: チューリッヒ連邦工科大学
• [Int'l Joint Research] テキサス州立大学ダラス校(米国)
  • Country Name: U.S.A.
  • Counterpart Institution: テキサス州立大学ダラス校
• [Int'l Joint Research] ライデン大学(オランダ)
  • Country Name: NETHERLANDS
  • Counterpart Institution: ライデン大学
• [Int'l Joint Research] 釜山教育大学(韓国)
  • Country Name: KOREA (REP. OF KOREA)
  • Counterpart Institution: 釜山教育大学
• [Journal Article] Generalized Kashaev invariants for knots in three manifolds (2017)
  • Author(s): Murakami Jun
  • Journal Title: Quantum Topology Volume: 8 Pages: 35～73
  • DOI: DOI: 10.4171/QT/86
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Reidemeister transformations of the potential function and the solution (2017)
  • Author(s): Cho Jinseok、Murakami Jun
  • Journal Title: Journal of Knot Theory and Its Ramifications Volume: 26 Pages: 1750079～1750079
  • DOI: 10.1142/S0218216517500791
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] On a $q$-deformation of PSL(2) representation of knot groups (2018)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Low dimensional topology and number theory X, 九州大学
  • Invited
• [Presentation] Presentation of knots by a braided Hopf algebra (2018)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Modular Forms and Quantum Knot Invariants, Banff International Research Station（カナダ）
• [Presentation] Braided Wirtinger presentation of knots (2018)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Representation Spaces, Teichmuller Theory, and their Relationship with 3-manifolds from the Classical and Quantum Viewpoints, Centre International de Rencontres Mathemiques（フランス、マルセイユ）
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On the volume conjecture of quantum knot invariants (2017)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Low-dimensional Topology and Number Theory, Oberwolfach Research Institute for Mathematics（ドイツ）
• [Presentation] On the asymptotics of quantum 6j symbols (2017)
  • Author(s): Jun Murakami
  • Organizer: Invariants in low dimensional geometry & topology, トゥルーズ大学（フランス）
  • Invited