2018 Fiscal Year Research-status Report
Quantization of the fundamental group by dual quantum group
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17K18728
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目 / 量子群 / 表現論 / ジョーンズ多項式 / 体積予想 / 基本群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の基本群の SL(2) 表現について、その双対に対応するホップ代数の量子化を用いて、基本群の SL(2) 表現の量子化に当たるものを構成した。
SL(2) の双対に対応するホップ代数とは、SL(2) の座標環に群構造から自然に定義されるホップ代数の構造を入れたものであり、このホップ代数の量子化は S. Majid により組紐型の量子群として構成されていたのであるが、本研究では、結び目からこの組紐型の量子群に対して自然な対応が定義できることを示した。また、組紐型の交換関係というものを満たす任意の組紐型のホップ代数に対してもこのような構成ができることを示した。
また，結び目の体積予想に関係して、結び目のカラードジョーンズ多項式から出来る体積ポテンシャル関数から結び目補空間の体積ばかりでなく、ライデマイスタートージョンと呼ばれるものが得られることについて A. Tran 氏と共同研究を進めることができた。
さらに、日本学術振興会の海外特別研究員として2018年10月より早稲田大学に滞在している M. De Renzi 氏と、半単純ではない表現に対応する位相的場の量子論についての研究を行っている。De Renzi 氏は一般的な設定のもとでの位相的場の量子論の構成法を得ていたのであるが、これを発展させ、量子群やテンパーリー代数のパラメーターが１のべき根となった場合に現れる半単純でない表現が本質的に現れるような場合についての具体的な理論の構築を目指し、おおよそのプログラムを得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
結び目の基本群の SL(2) 表現について、その双対に対応するホップ代数の量子化を用いて、基本群の SL(2) 表現の量子化に当たるものを構成し、論文にまとめて投稿する段階にまで進んだ。
SL(2) の双対に対応するホップ代数とは、SL(2) の座標環に群構造から自然に定義されるホップ代数の構造を入れたものであり、このホップ代数の量子化は S. Majid により組紐型の量子群として構成されていたのであるが、本研究では、結び目からこの組紐型の量子群に対して自然な対応が定義できることを示した。
また，結び目の体積予想に関係して、結び目のカラードジョーンズ多項式から出来る体積ポテンシャル関数から結び目補空間の体積ばかりでなく、ライデマイスタートージョンと呼ばれるものが得られることについて A. Tran 氏と共同研究を進めることができた。
さらに、日本学術振興会の海外特別研究員として2018年10月より早稲田大学に滞在している M. De Renzi 氏と、半単純ではない表現に対応する位相的場の量子論についての研究を行っている。De Renzi 氏は一般的な設定のもとでの位相的場の量子論の構成法を得ていたのであるが、これを発展させ、量子群やテンパーリー代数のパラメーターが１のべき根となった場合に現れる半単純でない表現が本質的に現れるような場合についての具体的な理論の構築を目指し、おおよそのプログラムを得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
結び目の基本群の SL(2) 表現の量子化の１つの構成を得ることはできたが、量子不変量との関係について調べてていく。とくに AJ 予想と呼ばれる結び目のカラードジョーンズ多項式と A-多項式とを関係付ける予想との関係が大変興味深いのであるが、これには表現の行列に当たるものの固有値が大変重要で、固有値の量子化に当たるものが何かがまだわかっていないので、これを明らかにすることで多くの量子不変量との直接的な対応が見えてくるものと期待している。
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| Causes of Carryover |
次年度に海外からの研究者を呼ぶ研究集会の予定が入ったため、本年度の使用を控えた。
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