2020 Fiscal Year Annual Research Report
Quantization of the fundamental group by dual quantum group
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17K18728
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | 結び目 / ホップ代数 / 基本群 / 量子不変量 / 量子群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目補空間の基本表現の群の量子化についての研究を行った．通常の基本群の表現は，群環のホップ代数としての構造を用いて定式化し直すことで、任意のホップ代数への表現を定義することができる．さらに，量子化を考えるにあたり，ホップ代数でのテンソル積の左右の交換を２回すると元に戻る入れ替えではなく，結び目や組みひもの交差のように，２回やっても元には戻らないが，組みひも関係式を満たすような入れ替えに一般化することで，組みひも型のホップ代数と言われるものに表現を一般化することができた．通常の基本群では，基本群を定義する際の道の同位変形を考える際に，道の自己交差を許すのであるが，組みひも型のホップ代数を用いた表現では，道の自己交差は許さないように基本群を一般化したものに対する表現となっている．この基本群を一般化したものは，基本群の量子化と呼ぶべきものである．
組みひも型のホップ代数としては，S. Majid により構成された SL(2) に対応する組みひも型の量子座標環 BSL(2) が典型的な例であるが，このような組みひも型の量子座標環は他の古典型の量子群に対しても構成されており，本研究での基本群の表現の量子化の手法は，これらの BSL(2) 以外の組みひも型の量子群への表現の構成にも応用可能な研究である．本研究はオランダの R. van der Veen との共同研究であり，この研究をもとに，今後は葉廣によるボトムタングルの理論と組み合わせて，スケイン代数と基本群の量子化との関係を明らかにできるものと期待している．
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