2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K18731
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (60259900)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
倉坪 茂彦 弘前大学, 理工学研究科, 客員研究員 (50003512)
藤間 昌一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (00209082)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | フーリエ級数 / 調和解析学 / 解析的整数論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多変数フーリエ級数の収束問題について、研究代表者と倉坪茂彦、大坪和弥が、原点中心の球の定義関数のフーリエ級数に対して用いた方法、すなわち、フーリエ級数を Gibbs (Gibbs-Wilbraham) 現象、Pinsky 現象、倉坪現象の3つに分解する方法を用いて、研究を進めた。原点からの距離にのみ依存する関数で、しかも、Taylarが用いた2次元波動方程式の基本解を高次元に一般化した関数に関して、その球形部分和の各点における収束・発散および未解決部分を詳細に記述することができた。この際、「Hardy の等式」を拡張した「或る等式」を出発点とし、等式をつないで丁寧に式変形を積み重ねる方法を用い、さらに、解析的整数論における格子点問題の既知の結果を改良した定理を証明し、これを用いた。加えて、多変数フーリエ級数の収束問題の未解決部分が、長年の未解決問題であるガウスの円問題を含む格子点問題と同値であることを証明した。すなわち、いずれかが解決できれば、他方も解決できることを証明した。この結果を64ページの論文にまとめ、現在投稿中である。また、天津で開催された国際研究集会にて招待講演を行った。
ガウスの円問題について東京大学のスーパーコンピュータ Oakforest-PACS および Oakbridge-CX を用いて数値実験を行った。Lune and Wattel (1990) の先行研究で得られていた桁数を大幅に超える結果を得た。しかも、Lune and Wattel が予想した結果を修正することができた。現在、この成果をまとめているところである。この結果から、ガウスの円問題に関する「Hardy 予想」が正しいことが見込まれ、さらに、多変数フーリエ級数の収束問題の未解決部分についても、その収束・発散の見込みが可能となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究の進捗はおおむね予定通りであったが、新型コロナウイルスの流行に伴い、予定していた学会や研究会が中止になったため、出張を取りやめて、研究発表や研究打合せを次年度に行うこととした。
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| Strategy for Future Research Activity |
多変数フーリエ級数の収束問題について、得られた結果を学会等で発表するとともに、ガウスの円問題についてスーパーコンピュータによる数値計算の結果を整理し、研究組織全体として、とりまとめを行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの流行に伴い、予定していた学会や研究会が中止になり、出張を取りやめて、研究発表や研究打合せを次年度に行うこととしたため。
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Research Products
(3 results)
