2019 Fiscal Year Research-status Report
Investigation of the mathematical structure of bidomain models
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17K18732
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
俣野 博 明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 特任教授 (40126165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
奈良 光紀 岩手大学, 理工学部, 准教授 (90512161)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | バイドメインモデル / 非線形問題 / 進行波 / 安定性 / 分岐理論 / FitzHugh-Nagumoモデル / パルス波 / 擬微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
バイドメインモデルは，心臓電気生理学で重要な数理モデルであるが，これまで主として数値シミュレーションに使われてきただけで，この方程式の理論的研究，とくに解の安定性などに関する定性的研究は，ほとんど行われていなかった．本研究は，代表者と森洋一朗氏が以前から進めてきた研究を引き継ぎ，発展させるものである．前回の研究では，平面R^2上でバイドメインAllen-Cahn方程式を考え，平面進行波の安定性をさまざまな角度から研究して，バイドメインモデルの定性的理論に関する世界で初めての成果を得た（CPAM, 2016）．この研究は，平面進行波の線形安定性と，拡散の異方性から定まるフランク図形の密接な関係を明らかにした点で画期的であった．平成29年度から始めた本研究では，この結果をさらに深めて非線形安定性を考察するとともに，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルについても研究した．本年度の実績は，以下の通りである．
(1) 【非線形安定性解析】 さまざまな方向の帯状領域上でバイドメインAllen-Cahn方程式の進行波の非線形安定性を研究した．一定の結果は前年度から得られていたが，本年度はその結果を深めて，より一般的な状況での安定性解析を行うとともに，バイドメイン進行波のHopf分岐に関する一般論を完成させた（論文投稿準備中）．
(2) 【バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルの研究】本来の神経生理学モデルにより近い，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルを研究し，Allen-Cahn方程式に対して波面が安定な方向の帯状領域であれば，FitzHugh-Nagumoのパルス波も（あるパラメータ領域においては）安定であることを，世界で初めて示した．また，数多くの数値シミュレーションを行い，パルス波の特徴を観察した（1篇の論文を投稿準備中，1篇を準備中）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
既発表の論文はないが，3篇の論文が完成に近づいている．その内容を説明する．
当初予定していた，無限帯状領域におけるバイドメインAllen-Cahn方程式の進行波の非線形安定性の解析と，進行波が安定性を失うときの分岐現象の解析については，前年度までの結果をさらに深めて，完成度の高い理論が構築できた．この方程式は，古典的なAllen-Cahn方程式のような拡散方程式ではなく，比較定理が成り立たない擬微分方程式であるため，理論的な取り扱いが極めて難しい．数多くの技術的困難を克服することで，理論の完成度を高めることができた．この理論的結果をまとめた論文は，ほぼ完成しており，近日中に投稿できる見込みである．
また，本来の神経生理学モデルにより近い，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルに関する研究も，大きく進展させることができた．古典的なFitzHugh-Nagumoモデルのパルス波の安定性については，1980年代に先駆的な研究があるが，我々が行ったバイドメインFitzHugh-Nagumoモデルのパルス波の安定性解析は，世界で初めての成果である．この論文も，現在準備中である．
さらに，理論的研究と平行して，数値シミュレーションによる研究も行った．これにより，理論的な安定性解析だけではとらえきれない複雑な現象についての理解を深めることができた．とくに，パルス波が安定性を失う場合，平坦な波面が崩れて鋸歯状のパルス解が現れる場合と，パルス波がそのまま消滅する場合があることを示した．これは心臓の活動電位が Bidomain 作用素の性質によって消滅する可能性があることを示唆しており，生理学的にも興味ある結果である（論文投稿準備中）．
本研究は，心臓生理学の分野で重要なバイドメインモデルに対して世界に先駆けて行った理論的研究として，十分満足できる成果が得られたといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルのパルス波の挙動について，さらに考察を深めていきたい．上で述べたように，平坦な波面を持つパルス波が不安定化した際の，その後の挙動には，大きな多様性がある．バイドメインモデルは強い空間異方性を持つため，パルスが進む方向によって挙動が大きく異なる．こうした複雑な現象に対して，理論的解析と数値シミュレーションを併用しながら理解を深めていきたい．
また，より複雑なバイドメインHodgkin-Huxleyモデルについても研究したいと考えている．バイドメインHodgkin-Huxleyモデルは，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルよりも，実際の心臓の電気生理をより忠実に表していると考えられる．方程式は複雑であるが，パルス波の挙動は，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルのパルス波に近いと想像している．
同時に，バイドメインモデルに実用面から携わっている電気生理学分野の研究者も含めた学際的な研究交流の機会を設けて，バイドメインモデルのどのような側面に重点を置いて今後の研究を進めていけばよいかなど，将来的な方向性についての議論を深めたい．
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| Causes of Carryover |
研究集会を開催予定であったが，新型コロナの感染拡大に伴い，延期せざるをえなくなった．
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Research Products
(3 results)
