2021 Fiscal Year Research-status Report
Investigation of the mathematical structure of bidomain models
| Project/Area Number |
17K18732
|
|---|
| Research Institution | Meiji University |
|---|
Principal Investigator |
俣野 博 明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 特任教授 (40126165)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
奈良 光紀 岩手大学, 理工学部, 准教授 (90512161)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2023-03-31
|
| Keywords | バイドメインモデル / 非線形問題 / 進行波 / 安定性 / 定性的理論 / 擬微分方程式 / FitzHugh-Nagumoモデル / 数値シミュレーション |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
バイドメインモデルは心臓電気生理学できわめて重要な数理モデルであるが，理論的扱いが難しく，解の安定性などに関する定性的研究は，従来ほとんど行われていなかった．これに突破口を開いたのが代表者と森洋一朗氏が2016年に発表した論文である．この論文では，バイドメインAllen-Cahn方程式の平面進行波の線形安定性と，拡散の異方性から定まるフランク図形の密接な関係を世界で初めて明らかにした（CPAM2016）．平成29年度から始めた本研究では，この研究をさらに深化させて非線形安定性を考察するとともに，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルについても研究を開始した．コロナ禍に加えて，理論的に解決すべき問題が当初の予想以上に多かったため，研究の進捗が一時期遅れていたが，その後着実に成果を上げつつある．本年度の実施状況は，以下の通りである．
(1) 【非線形安定性解析】 前年度から進めていた帯状領域上でのバイドメインAllen-Cahn方程式の進行波の非線形安定性の研究を完成させ，論文を投稿した．帯状領域の幅や方向と進行波の安定性との関係を理論的に明らかにした．なお，当初この論文には進行波のHopf分岐に関する考察を含めていたが，論文が長くなったので，Hopf分岐の結果は別の論文として発表することにした．
(2) 【数値シミュレーションを用いた研究】バイドメインAllen-Cahn方程式の平面波が不安定化するとギザギザの波面が現れるが，このギザギザの形とFank図形との関係を理論解析と数値シミュレーションを併用して詳しく調べた．また，本来の神経生理学モデルにより近いバイドメインFitzHugh-Nagumoモデルについても研究を進め，帯状領域におけるパルス波の振る舞いを調べた．この研究は前年度末に完成していたが，本年度に海外の学術誌に掲載された．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度は，研究がかなり進展して論文投稿も近いと思っていたが，解決すべき技術的問題が一部残っていることに気づいた．これは，通常の拡散方程式にはない，バイドメイン特有の厄介な性質によるものである．ただ，それらは特段に大きな問題というわけではなく，少し時間をかければ確実に解決できる見通しはあったが，コロナ禍に襲われて，共同討議の機会が大幅に減ってしまい，論文を完成させるのに予想外の時間がかかった．しかし成果は着実に得られている．
今回完成させた論文の１つは，無限帯状領域におけるバイドメインAllen-Cahn方程式の進行波の非線形安定性に関するものである．この方程式は，古典的なAllen-Cahn方程式のような拡散方程式ではなく，比較定理が成り立たない擬微分方程式であるため，理論的な取り扱いが極めて難しい．数多くの技術的困難を克服する必要があった．そうした事情と，コロナ禍により，当初の予定より時間はかかったが，完成度の高い論文を書き上げることができた．
また，本来の神経生理学モデルにより近い，バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルに関する研究も，同時並行で行ったが，コロナ禍により共同研究が従来通り進められなくなったので，2020度は，数値シミュレーションを主体とする研究に注力し，2021年度に論文が掲載された．2021年度後半からバイドメインFitzHugh-Nagumoモデルの理論的研究を再開したが，コロナ禍のため，当初の予定よりやや遅れている．
本研究は，心臓生理学の分野で重要なバイドメインモデルに対して世界に先駆けて行った理論的研究であり．研究の進み具合は，当初の予定より時間がかかっているが，十分満足できる成果が得られつつある．
|
| Strategy for Future Research Activity |
2022年度は，2021年度後半から始めたバイドメインFitzHugh-Nagumoモデルのパルス波の安定性に関する理論的な研究を再開し，論文の完成をめざす．古典的な（拡散方程式の）FitzHugh-Nagumoモデルの場合，パルス波の安定性は，1980年代に柳田氏やJonesによって部分的な結果が示され，2000年代に入って，Scheel氏らによってより一般的なケースに対する結果が得られている，これらの結果は，古典的（拡散方程式の）Allen-Cahn方程式の進行波に対する安定性の結果と特異摂動法を組み合わせて得られている．バイドメインFitzHugh-Nagumoモデルの場合も，バイドメインAllen-Cahn方程式に対する安定性解析が申請者と森洋一朗氏による2016年の研究と，今回完成させた研究によって得られているので，それを利用して安定性解析が行える見通しが立っている．ただ，方程式に擬微分作用素が含まれているため，拡散方程式をベースにした通常のFitzHugh-Nagumo方程式より扱いが格段に難しく，慎重に解析を進める必要がある．この研究の完成を急ぐ．
これに加えて，帯状領域におけるバイドメインAllen-Cahn方程式の平面波のHopf分岐に関する論文を完成させる．この結果は，当初は2021年度に完成させたバイドメインAllen-Cahn方程式の平面波の非線形安定性に関する論文の中に含める予定であったが，先に述べたように論文が長くなりすぎたため，レフェリーの指示で切り離したテーマである．分岐に関する理論解析をさらに深めた形で新たな論文にまとめる予定である．
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の蔓延により，共同研究を当初の予定通り進めるのが困難になり，期間を延長した．これに伴い，今年度に開催する予定であった研究集会を次年度に延期した．
|
Research Products
(4 results)
