2017 Fiscal Year Research-status Report
Structure-preserving methods for stochastic differential equations
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17K18736
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | 確率微分方程式 / 構造保存数値解法 / 伊藤積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
初年度は、申請者のこれまでの研究結果と連携実績をもとに、以下のような段階を踏んで、それぞれの段階の研究テーマに対して、各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行なった．
ステップ 1: まず、これまでの研究結果を踏まえて、単純な問題から始めた．具体的には、数学的には一見単純だが金融分野などで実際に応用される現実問題が大変に多い、線形単独な確率微分方程式を対象として研究を開始した．このとき、Stratonovich 積分ではなく、伊藤積分に立脚する形式で確率微分方程式を表現する場合にのみ、特有の数学構造が表出する．そこで、この数学構造を対象として、発展作用素の離散化に相当する離散平方作用素を用いて、構造保存数値解法を構成した．そして、実際に多くの数値実験を介してみることでその様子を詳細に把握することが可能であると目論まれ、実際、この段階の対象問題は線形であるため、数値解析には大きな困難はないものであった．
ステップ 2a : 特に構造保存数値解法によって構成される数値スキームはその結果の数学的性質の良好さ引き換えに多くの計算量を要求される傾向にある．この問題に対して、数値計算技法上の対策はいくつかあるが、できれば、本来の確率微分方程式の数学的性質に基いて計算量を軽減する処方が望ましく、内外の、微分方程式に関する応用数学研究者と連携するなどの研究協力により、こうした方向性の研究を進めた．具体的には、本研究結果を国際研究集会 SciCADE2017(International Conference on Scientific Computation and Differential Equations)をはじめとする内外の研究集会・学会にて講演発表し、現地にて専門家と最新の知見を共有した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記研究実績の項目で述べているように、研究成果については独自の内容で当初の研究計画に沿った成果を得ており、現時点で全般にほぼ当初計画に沿った進展が見られると考えられる．また、平成29年度に本計画研究者が応用数学の専門家が集まる国際会議 SciCADE (International Conference on Scientific Computation and Differential Equations) および ICIAM (International Congress on Industrial and Applied Mathematics)に て研究発表を行い、研究交流を推進したこともまた予定通りである．
これらにより本研究の研究成果、実績について当初の計画からの大きなずれは無く、本達成度としてみずから評価するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
H30年度以降も、ほぼこれまでの計画に沿って研究を推進していく方針である．具体的には、H30年度は以下のような推進方針である．
ステップ 2b : 対称な構成方法のため、これまでに構成した構造保存数値解法はおのずと対称な数値スキームとなる．この対称性は数学的には好ましいが、時間発展方向の対称性は数値スキームの陰的性でもあり、計算量が大きくなる．これまでの研究は対象問題が線形であるためにスキームの陰的性は大きな問題ではなく、多くの場合は充分に許容範囲である．しかし、対称問題が非線形性を有する場合は状況が異なり、スキームの時間発展には大規模な非線形連立方程式の求解が必要となり、その計算量はたちまちに問題となる．そこで、さらに、本来の理想的な手法である、確率微分方程式の解の数学的性質を利用した確率過程変換に基づく高速数値解法と構造保存解法の融合をおこなうべく研究をすすめる．これについては明らかに確率微分方程式についての深い知見が必要となるが、確率過程変換については、応募者と共同研究を行っているスウェーデンの Larsson 教授が率いる研究室に多くの専門家が居るため、協働することで本テーマを強力に推進できる．これにより、数値解析が大変に高速化でき、かつ、その数学的性質が保たれる理想的な解法を構成することを目指す．
ステップ 3: これまで構成した新しい構造保存数値解法の数学的な解析を、関数解析手法により行う．こうした解析により数値解の絶対安定性やその他優れた性質が証明できることが多々あることから、数学的にはこのステップが本研究の白眉とも言える部分である．こうした解析においては、確率分布論における関数解析論の専門家など(上記研究室の F. Lindgren 氏, 大分大学の吉川教授等)と協働し研究を推進する．
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| Causes of Carryover |
初年度に理論的進捗に集中していたことや協働を予定していた海外研究者Fredrik Lindgren の研究環境の変化により大型計算に必要として購入予定であったワークステーションの購入を延期したため、ほぼワークステーション一台分程度にあたる次年度使用額が生じることになったものである．
次年度にほぼこの予算分のワークステーションを購入する計画である．
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Research Products
(6 results)
