2019 Fiscal Year Research-status Report
Structure-preserving methods for stochastic differential equations
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17K18736
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
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2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | 確率微分方程式 / 構造保存数値解法 / 伊藤積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画三年度においてはニ年度の成果等をもとに、以下のように各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行なった．
まず，ニ年度に続き数学的に後述するような単純な問題に対する調査を継続した．単純とは応用が多く見られる線形かつ単独な確率微分方程式を対象としての謂である．本研究の着目点の一つに伊藤積分に立脚する形式で確率微分方程式を表現する場合にのみ解析が可能な数学構造がある．この数学構造を対象として、発展作用素の離散化に相当する離散平方作用素（多くの場合はラプラシアンを含む）を用いて構造保存数値解法により離散化を行いその性質を調査した．また、本年度においても数値実験による保存性の結果は理論が示した通りのものであることが示された．
また，ニ年度に引き続き，構造保存と引き換えに多くの場面で強く要請される離散的数学的性質についての研究を遂行した．具体的にはその一つである基底空間の自由度の高い離散化とその上での微分作用素の離散化に課せられる要請（Green 則，Gauss則，Stokes則などとその一般的な導出）について，基底空間を一般に凸多角形分割しその上に piecewise constant な関数空間を想定することと巧妙な離散ベクトル解析を考えることで既知の多くのベクトル解析則を離散的に再現することが可能であることを見出した．そしてこれらの成果を国際研究集会 ANZIAM2020(Australia and New Zealand Industrial and Applied Mathematics)をはじめとする内外の研究集会・学会にて講演発表し、現地にて専門家と最新の知見を共有した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記研究実績の項目で述べているように、研究成果については独自の内容で当初の研究計画に沿った成果を得ており、現時点で全般にほぼ当初計画に沿った進展が見られると考えられる．また、令和元年度に本計画研究者が応用数学の専門家が集まる国際会議 ANZIAM2020(Australia and New Zealand Industrial and Applied Mathematics)にて研究発表を行い、研究交流を推進したこともまた予定通りである．これらにより本研究の研究成果、実績について当初の計画からの大きなずれは無く、本達成度としてみずから評価するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和二年度も、ほぼこれまでの計画に沿って研究を推進していく方針である．具体的には、令和二年度は以下のような推進方針である．
ステップ 3: これまで構成した新しい構造保存数値解法の数学的な解析を、関数解析手法により行う．こうした解析により数値解の絶対安定性やその他優れた性質が証明できることが多々あることから、数学的にはこのステップが本研究の白眉とも言える部分である．こうした解析においては、確率分布論における関数解析論の専門家など(上記研究室の F. Lindgren 氏, 大分大学の吉川教授等)と協働し研究を推進する．
ステップ 4: 対象問題を非線形問題に拡張し、新しい構造保存数値解法本手法の拡張に関する研究を行う．一般の非線形性そのものを直接扱うことは数学上の困難が強すぎるため、まずは弱非線形性問題および非線形性が多項式で表現される確率微分方程式を対象とする．特に、多項式表現による非線形性が導入されている問題は現実問題の非線形問題の相当な範囲を網羅するため、このステップの研究過程は応用上重要である．さらに、強い非線形性を持つ問題に対しても、その多くは初等関数によるものであるため、級数展開に基づき、上記の多項式表現に関する研究を拡張することで援用が可能であると考えられる．これにより、ほぼ一般の非線形問題に対しても本研究を適用することを目指す．
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| Causes of Carryover |
理論的進捗に集中していたことと，年度半ばに，台湾 NTCU および英国 Netwon 研究所に招待され研究滞在を行ったことから本邦にての研究日数が減ったことから，本邦にて購入，使用を予定していたワークステーションの購入を延期したため、ほぼワークステーション一台分程度にあたる次年度使用額が生じることになったものである．次年度にほぼこの予算分のワークステーションを購入する計画である．
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