2018 Fiscal Year Research-status Report
ゆらぎの定理を基軸とした非平衡熱力学形式の構築を目的とする探索的研究
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17K18737
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
盛田 健彦 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00192782)
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2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | ゆらぎの定理 / 非平衡定常状態 / 熱力学形式 / エルゴード理論 / 大偏差原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度に引き続き、カオス力学系の条件を緩めた場合に、既存の「ゆらぎの定理」がそのまま成立するのか、修正することで意味のある定理となるのかを吟味し、「ゆらぎの定理」の成立条件を絞り込む作業を継続した。力学系の極限定理とも密接に関連した数理現象を対象としていることから、本研究と並行して推進している基盤研究(B)とも連動しており、以下の研究結果に影響を与えている。
一つは、中心極限定理における極限分散の非退化性や局所極限定理に付随する観測量の分類に応用可能な結果で、狭義定常列におけるマルチンゲールコバウンダリー分解の一意性のエルゴード分解によらない別証明を与えることに成功したというものである。これについては、論文 “An alternative proof of the uniqueness of martingale-coboundary decomposition of strictly stationary processes”にまとめ、既存の証明が掲載されている学術雑誌 Commentationes Mathematicae Universitatis Carolina に投稿したところ掲載が決定した。
もう一つは、決定論的な中心化を施した場合のランダム力学系に関する標本毎中心極限定理に関する結果で、ノイズとなるランダムネスの独立性も、出現する力学系が共通の不変測度もつことをも仮定しない定式化を行なった。2018年11月大阪大学で開催された研究集会「エルゴード理論とその周辺」での招待講演 “Sample-wise central limit theorem with deterministic centering for non-singular random dynamical system”で発表した。内容を今一度精査して論文を投稿する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本研究は以下の３つの具体的目標を掲げている。
(1) 「ゆらぎの定理」が確認されていないさまざまな力学形に対して、既存の「ゆらぎの定理」がそのまま成立するのか、修正することで意味のある定理となるのかを吟味し、「ゆらぎの定理」の成立条件を絞り込む。
(2) 揺動散逸定理(Green-Kubo 公式)やOnsager の相反定理といった基本的な結果を「ゆらぎの定理」から導出することが確立された例を精査して、数学的にどのような条件がこれを可能にしているのかを特定する。
(3) (1)、(2)の研究を糸口にして、非平衡熱力学の本質的部分を抽出し公理化して数学的形式論の構築を目指す。
当初の計画では平成30年度は初年度に引き続き(1)、(2)の研究を並行して行いつつ、(2)に重点を移しながら研究を推進することになっていたが、初年度に(1)に関する工程が難航したことにより、(1)に重点を置いた状況を継続して研究を推進することになった。(2)についても別途推進している力学系の極限定理に関する研究課題の中で、自己相関係数の指数的減少を扱う際に若干の考察を行う程度にとどまった。本課題は探索的研究であり難航する可能性もあるということで、2年度以降においては幾つかの工程を省略して次の研究につなげる方向に舵を切るという選択肢も当初から想定はされていた。これを考慮したとしても、今後も引き続き目標(1)、(2)に関する研究を着実に進めることに重点をおく必要が生じてしまった上、研究連絡についても日程調整がうまくいかないことが重なったなどの理由で情報収集の面でも十分とはいえず、予定した進捗状況からは遅れていると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
進捗状況の項目でも述べたが、本研究は以下の３つの具体的目標を掲げている。
(1) 「ゆらぎの定理」が確認されていないさまざまな力学系に対して、既存の「ゆらぎの定理」がそのまま成立するのか、修正することで意味のある定理となるのかを吟味し、「ゆらぎの定理」の成立条件を絞り込む。
(2) 揺動散逸定理(Green-Kubo 公式)や Onsager の相反定理といった基本的な結果を「ゆらぎの定理」から導出することが確立された例を精査して、数学的にどのような条件がこれを可能にしているのかを特定する。
(3) (1)、(2) の研究を糸口にして、非平衡熱力学の本質的部分を抽出し公理化して数学的形式論の構築を目指す。
現状では目標(1)の段階でかなり作業が難航しており、取り扱う力学系のクラスを絞り込むことによって、いくつかの小さな工程を省略することも検討せざるを得ない。最終目標の(3)の達成が難しいということについては当初より想定されていることから、平成30年度の初期において検討した計画変更の可能性が現実のものとなっている。研究全過程を通して(1)と(2)に関する工程を着実に進めることを最優先課題とし、本研究課題終了後も継続的に当該研究を推進することが可能となるような準備を整えることを念頭におき研究を継続するとともに、並行して推進している力学系の極限定理に関する課題の成果を応用する形で目標(2)が達成できるように研究の方向を修正する。
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| Causes of Carryover |
昨年度同様、力学系理論等に関連する文献を調べ「ゆらぎの定理」の背景にある様々な結果について相互関係を明確にしておく作業を進めねばならなかったのだが、目標(1)、(2)、(3)を達成するためのいくつかの工程を省略する必要が実際にあるかどうかの判断の時期が若干遅くなったこともあり、研究連絡の日程調整や購入書籍の選定に遅延が生じた。目標(1)に重点を置くことを決定した状況において作業を少し急いだものの、情報の収集、研究連絡のための日程調整、図書購入の遅れ等を取り戻すには十分ではなかった。本計画全体を通して今後も資料の収集と整理、関連分野の研究者との研究連絡と情報の交換は必要不可欠であり、該当する旅費と物品費の使用時期を最終年度以降に変更して調整を行うこととなった。
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