2018 Fiscal Year Annual Research Report
Finite element schemes that permit non-shape-regular triangulations
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17K18738
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2019-03-31
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| Keywords | 関数補間 / Crouzeix--Raviart補間 / Raviert--Thomas補間 / 有限要素法 / 三角形分割 / 誤差解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数値シミュレーション、つまりある領域上で定義された偏微分方程式の解を数値的に求める手法の１つとして、有限要素法は多くの場面で使われる有力な方法である。有限要素法により数値シミューレーションを行うためには、「有限要素」（多くは三角形や四面体）と呼ばれる図形で問題領域を充填する必要がある。その際、有限要素はなるべく「ふっくらしている」ことが望ましいとされている。しかし、様々な理由で「潰れた」要素が現れる場合があり、その場合は数値シミュレーションの精度が落ちるとされてきた。しかし、必ずしもそうではないことが、申請者の研究により明らかになってきた。
本研究では、2次元の場合、三角形要素の幾何学的形状がCrouzeix-Raviart有限要素法とRaviart-Thomas有限要素法の誤差に与える影響について詳しく調べた。得られた結果は、「三角形分割内に潰れた三角形があっても、三角形の外接円の半径の最大値が十分小さければ、得られた有限要素解の誤差は十分小さい」ということである。非適合型の有限要素法であるCrozeix-Raviart有限要素法について、この種の結果が得られたのは本研究が初めてであり、重要な貢献であると思われる。
さらに、曲面の面積をLagrange補間とCrouzeix-Raviart補間を使って近似する際の誤差についても、詳しく調べた。Lagrange補間については、「使用する三角形分割内の三角形の内角の最大値がπより小さなある定数より小さければ曲面の面積は精度よく近似できる」という100年前のYoungの結果のより簡単な別証明を得た。さらに、Crouzeix-Raviart補間については、「三角形分割の幾何学的形状に全く条件を課さずに曲面の面積が精度よく近似できる」という結果を得た。特に後者の結果は、有限要素法の「常識」に反する結果で、申請者も驚いた。
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Research Products
(9 results)
