2017 Fiscal Year Research-status Report
Infinite-dimensional Hilbert representations of quivers
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17K18739
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 数理学研究院, 教授 (00175077)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | quiver / ヒルベルト空間 / 部分空間の配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
箙（えびら=quiver）とは、有向グラフの（環論と表現論における）別名である。箙（quiver）の有限次元表現とは、有向グラフの頂点に有限次元ベクトル空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には線型写像を対応させたものである。「構造の対称性」を表す数学的概念が群であるなら、「対象の関係性」を表す数学的概念が箙（quiver）=有向グラフである。どちらも簡素ではあるが、基礎的で普遍的に現れる重要なものである。対称性を表す群を調べるにはそれを線型化して、（ユニタリ）行列として表現するのが有力な研究方法である。それと同様に、対象の関係性を表す箙（quiver）=有向グラフを調べるにはそれを線型化してベクトル空間と線型写像として表現するのが有力な研究方法である。箙（quiver）の有限次元表現は、量子展開環のHall構成、特異点解消の導来圏、ミラー対称性、さらにビッグデータを解析するパーシステントホモロジーで使われていて、多くの領域と関連していることが明らかになっている。群の表現では、無限次元のヒルベルト空間上の作用素として群を表現して研究することが当然のように幅広くなされてきた。しかしながら、箙（quiver）の表現では、そのようなヒルベルト空間を使った無限次元化は、私たちの先駆的な研究を除いては、全くなされていなかった。今回は、有向グラフの頂点には無限次元ヒルベルト空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には作用素を対応させるという、箙（quiver）の無限次元ヒルベルト表現を考察し、その直既約表現の構成とそれらの間の既約射を研究する。ヒルベルト表現全体のつくる圏やその導来圏の構造も探求したい。今年度は無限次元ヒルベルト空間の２個の部分空間の配置を研究し、特別な箙の無限次元ヒルベルト表現とみなし、operator rangeの分類に帰着できることを証明し、非自明な例を構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限次元ヒルベルト空間の２個の部分空間の配置の研究では、ユニタリ同値を除いては完全に配置が決定されていた。しかし、有界で可逆な作用素による同値を除いての研究は全然なされておらず、どれだけ違うものがあるかが、ほとんどわかっていなかった。今回の研究ではここに焦点をあてて取り組み、無限次元ヒルベルト空間の２個の部分空間の配置の有界で可逆な作用素による同値を除いての分類が、operator rangeのunitary同値の分類に帰着できることが証明できた。
たとえば、対角が（(1/n)^2）で与えられる対角行列Ａと対角が（(1/n)^3）で与えられる対角行列Ｂを考える。Ｋを２乗和可能な数列空間とし、ＨをＫとＫの直和とする。この時２個の部分空間の配置（Ｈ、Ｋ＋０、graph A)と（Ｈ、Ｋ＋０、graph A)は、有界で可逆な作用素による同値の意味でも同型ではないことが分かった。
この例のように、対角行列の対角の和の収束の度合いがこの意味での配置の弱い同型にも影響を与えることがわかったことは意外なことであった。このように当初予期していない状況になっていることが判明し、これからの発展の糸口がつかめたため、初年度の研究としてはおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
箙の無限次元ヒルベルト表現全体のつくる圏のつくる構造の研究がほとんど進んでいないので、その方向の研究にも力をいれたい。これは有限次元表現のときに詳しく調べられているので、それとの類似として研究が推進できると思われる。
ヒルベルト空間の３個の部分空間の配置の問題は、大変難しいが、すこしでも研究を模索していきたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は学内の特別な用務のため、研究打ち合わせの回数がへり、旅費の使用がへったから。
次年度は、榎本氏との共同研究のための研究打ち合わせや、数学会を含めた色々な研究集会での講演を多くおこなうので、そのための旅費が必要となる見込みである。
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