2018 Fiscal Year Research-status Report
Infinite-dimensional Hilbert representations of quivers
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17K18739
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 数理学研究院, 教授 (00175077)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | quiver / ヒルベルト空間 / 部分空間の配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
箙（えびら=quiver）とは、有向グラフのことであるが、環論と表現論における研究ではこの別名がよく使われている。今回の研究は、それらの研究の無限次元ヒルベルト空間への拡張を目指すものなので、この用語を用いることにする。箙（quiver）の有限次元表現とは、有向グラフの頂点に有限次元ベクトル空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には線型写像を対応させたものである。「構造の対称性」を表す数学的概念が群であるなら、「対象の関係性」を表す数学的概念が箙（quiver）=有向グラフである。どちらも簡素ではあるが、基礎的で普遍的に現れる重要なものである。対称性を表す群を調べるにはそれを線型化して、（ユニタリ）行列として表現するのが有力な研究方法である。それと同様に、対象の関係性を表す箙（quiver）=有向グラフを調べるにはそれを線型化して、頂点と矢印を、ベクトル空間と線型写像として、表現するのが有力な研究方法である。群の表現では、無限次元のヒルベルト空間上の作用素として群を表現して研究することが当然のように幅広くなされてきた。しかしながら、箙（quiver）の表現では、そのようなヒルベルト空間を使った無限次元化は、私たちの先駆的な研究を除いては、全くなされていなかった。今回は、有向グラフの頂点には無限次元ヒルベルト空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には作用素で箙を対応させるという、箙（quiver）の無限次元ヒルベルト表現を考察し、その直既約表現の構成とそれらの間の既約射を研究する。今年度は無限次元ヒルベルト空間の３つの部分空間の配置について、さらに研究を深め、double triangleと古典的なブール束の直和になるような配置の特徴づけを完全に行い、最終論文として仕上げた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限次元ヒルベルト空間の３つの部分空間の配置について、さらに研究を深め、double triangleと古典的なブール束の直和になるような配置については、有限次元のヒルベルト空間の３つの部分空間の配置の時はすべてそのような形になるというBrennerの定理をふまえて、その一般化をどうしたらいいかを考え、最終的にそのような形になるための完全な条件を探しだすことに成功した。ただ、証明に少し不備があったことも投稿したrefereeの指摘からわかったが、そのsuggestionに従い、最終的な定理として仕上げることができたので、おおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
quiverのヒルベルト空間への表現だけでなく、quiverのバナッハ空間への表現とそれのつくる圏の構造の研究を少しでもすすめたい。さらに、直既約なquiverのバナッハ空間への表現の具体例を探そう。また、quiverのヒルベルト空間への普遍表現のつくる作用素環の研究にも踏み込みたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は学内の特別な用務のため、旅費の使用が控えざるをえなかった。
次年度はもっと頻繁に研究打ち合わせを行い、共同研究を行う予定である。またこの研究の課題に関連する研究集会への援助もして、関連する研究を発展させ、本研究の推進の助けとしたい。
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