2019 Fiscal Year Research-status Report
Infinite-dimensional Hilbert representations of quivers
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17K18739
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 数理学研究院, 学術研究者(名誉教授) (00175077)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | 箙 / 作用素 / ヒルベルト表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
箙（えびら=quiver）とは、有向グラフのことであるが、環論と表現論における研究ではこの別名がよく使われている。今回の研究は、それらの研究の無限次元ヒルベルト空間への拡張を目指すものなので、この用語を用いることにする。箙（quiver）の有限次元表現とは、有向グラフの頂点に有限次元ベクトル空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には線型写像を対応させたものである。「構造の対称性」を表す数学的概念が群であるなら、「対象の関係性」を表す数学的概念が箙（quiver）=有向グラフである。どちらも簡素ではあるが、基礎的で普遍的に現れる重要なものである。対称性を表す群を調べるにはそれを線型化して、（ユニタリ）行列として表現するのが有力な研究方法である。それと同様に、対象の関係性を表す箙（quiver）=有向グラフを調べるにはそれを線型化して、頂点と矢印を、ベクトル空間と線型写像として、表現するのが有力な研究方法である。１個の頂点と１個のループからなる箙の研究は作用素論に対応している。作用素論の分野ではすべての作用素をuniversalに表現するものとしてuniversal model
の理論が知られている。今年度はこの理論を一般の箙の場合に考えてuniversal modelの理論の構築を考えた。作用素論の理論ではunilateral shift operatorのadjoint operator がそのuniversal modelの例であった。今回の研究で、一般の箙の場合は、Cuntz-Krieger 環の生成元のdjoint operatorsがそのuniversal modelの例になることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
箙を無限次元のヒルベルト空間とその間の作用素で表現するために、箙の有限次元表現では起こらなかった困難があり、箙のヒルベルト表現のつくる圏の研究に難航している。しかしながら作用素論の理論との類似を使えるという利点もあり、そちらのほうの研究に新たな展開がみられた。以上を合わせて考えるとおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
箙を無限次元のヒルベルト空間とその間の作用素で表現するために、箙の有限次元表現では起こらなかった困難があり、箙のヒルベルト表現のつくる圏の研究に難航しているが、特別なクラスに制限するなりして、部分的にでも圏論的考察を進めたい。
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| Causes of Carryover |
本研究では、箙の頂点をヒルベルト空間に対応させ、辺を有界作用素に対応させるという箙のヒルベルト表現を研究した。ヒルベルト空間の二つの部分空間の配置は、ディンキン図形のA_3のヒルベルト表現に対応し、その分類をおこなった。次にヒルベルト空間の三つの部分空間の配置は、ディンキン図形のD_4のヒルベルト表現に対応し、２重三角形の場合の特徴付けを行った。しかしながら箙の作用素表現は無限次元性のためヒルベルト表現全体の作る圏の研究に難航した。
しかしながら、作用素論のuniversal modelの研究にヒントをえて、箙の作用素環の表現による研究に精緻化できる可能性がうまれたので、その方向で研究を進展させ論文を作成する計画である。
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