2020 Fiscal Year Research-status Report
Infinite-dimensional Hilbert representations of quivers
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17K18739
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 数理学研究院, 名誉教授 (00175077)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| Keywords | 箙 / ヒルベルト表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
箙（えびら=quiver）とは、有向グラフのことであるが、環論と表現論における研究ではこの別名がよく使われている。今回の研究は、それらの研究の無限次元ヒルベルト空間への拡張を目指すものなので、この用語を用いることにする。箙（quiver）の有限次元表現とは、有向グラフの頂点に有限次元ベクトル空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には線型写像を対応させたものである。「構造の対称性」を表す数学的概念が群であるなら、「対象の関係性」を表す数学的概念が箙（quiver）=有向グラフである。どちらも簡素ではあるが、基礎的で普遍的に現れる重要なものである。対称性を表す群を調べるにはそれを線型化して、（ユニタリ）行列として表現するのが有力な研究方法である。それと同様に、対象の関係性を表す箙（quiver）=有向グラフを調べるにはそれを線型化して、頂点と矢印を、ベクトル空間と線型写像として、表現するのが有力な研究方法である。群の表現では、無限次元のヒルベルト空間上の作用素として群を表現して研究することが当然のように幅広くなされてきた。しかしながら、箙（quiver）の表現では、そのようなヒルベルト空間を使った無限次元化は、私たちの先駆的な研究を除いては、全くなされていなかった。今回は、有向グラフの頂点には無限次元ヒルベルト空間を対応させ、有向グラフの辺（矢印）には作用素で箙を対応させるという、箙（quiver）の無限次元ヒルベルト表現を考察し、その直既約表現の構成とそれらの間の既約射を研究した。さらに、ヒルベルト表現全体のつくる圏やその導来圏の構造も探求した。ここで直既約表現とはこれ以上非自明な直和に分解できない表現で、表現全体の building block である。しかしながら、これらに対する射の解析が非常に難しい事が判明した。それをどうにか打開しようと非線形正写像の研究に着手した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ヒルベルト表現全体のつくる圏やその導来圏の構造も探求した。ここで直既約表現とはこれ以上非自明な直和に分解できない表現で、表現全体の building block である。しかしながら、これらに対する射の解析が非常に難しい事が判明した。それをどうにか打開しようと非線形正写像の研究に着手した。まだこの方向は手探り状態なので研究成果があがるまでは進展していないが、新たな攻略の指針を獲得できたことは研究上望ましいことである。
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形正写像を射として使うことで圏の構造がより柔軟に取り扱えるようになったので、この新たな攻略の指針に基づいて、ヒルベルト表現全体のつくる圏やその導来圏の構造の研究を進めたい。
代数的な道代数をうまく完備化して作用素環的な道代数を構成し解析的な研究につなげたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で予定していた外国や国内での研究集会への参加がすべて取りやめになったため。研究集会への参加や共同研究の旅費に使う予定である。
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