ホモロジー論的視点からのパーコレーションの高次元化の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K18740
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平岡 裕章 東北大学, 材料科学高等研究所, 教授 (10432709)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2020-03-31
• Keywords: パーシステントホモロジー / 全域非輪体

Outline of Annual Research Achievements

平成２９年度は白井(研究代表者)と平岡(研究分担者)および竹居(連携研究者)によってパーコレーションの概念の高次元化に向けて予備知識の共有を行った．特に竹居により，グラフの場合におけるパーコレーションの最新の研究状況の報告とともに，連結成分の個数に対する中心極限定理の議論を行った．これは０次元のホモロジー群(もしくは０次元ベッチ数)に関するものである．このことは高次元の複体におけるパーコレーションの拡張の可能性および高次元ホモロジー群による無限クラスターの定義についての議論に発展し，その可能性とともに問題点も考察した．高次元複体上の無限クラスターの定義についても議論したが，現状ではまだ納得の行く形の定義には至っていない．部分的に平岡らによって２次元の格子複体において，格子の穴に着目した形でパーコレーションの類似物についての結果が得られ，これは複数の研究会で報告された．また，白井と平岡は格子複体において一様全域非輪体の数え上げを実行するために，複体上のラプラシアンのスペクトルについて考察を始めた．一般の格子複体の場合にスペクトルの状況は複雑であるが，糸口がつかめつつある．また格子複体を周期境界条件のもと考えると，スペクトルの計算は一般の場合に比べて容易になる一方，一様全域非輪体の定義について再考察が必要となることが明かになった．格子複体の場合のスペクトルと関連する結果については，現在論文を執筆中である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

パーコレーションの高次元化の問題についてはまだその定義のための手掛かりを模索中であるが，具体的な格子複体について全域非輪体の計算のために行った複体のラプラシアンのスペクトルの計算が進み，その副産物として複体のゼータ関数についての応用が得られたため．

Strategy for Future Research Activity

平成29年度に引き続き，分担者の平岡らが考察している穴に着目したパーコレーションを参考に，複体上のパーコレーションの妥当な定義についての模索を続ける． 一方，前年度に計算していた複体上の作用素のスペクトルについてさらに計算を押し進めて，全域非輪体の個数の数え上げの問題を解決する予定である．また周期的な格子複体の場合にそのスペクトルと全域非輪体(もしくはその定義の修正も込めて)の数え上げの問題を考察する．

Causes of Carryover

（理由）複数回検討していた研究打合せおよび講演発表の出張日程の短縮およびキャンセルなどで差額が出たため．
（使用計画）次年度の旅費に加えて使用する予定である．