2019 Fiscal Year Annual Research Report
Percolation from the view point of homology theory
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17K18740
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平岡 裕章 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | パーシステントホモロジー / 全域非輪体 / 完全複体 / ラプラシアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、白井（研究代表者）・平岡裕章（研究分担者）・落合啓之によって伊原型のゼータ関数の計算のために、トーラス上（周期境界条件）の方体複体上のラプラシアンの固有値について計算したが、この場合は周期境界条件のおかげでフーリエ級数による変換を行うことにより、固有値の計算が少し容易になった。グラフの連結性と固有値の関連を念頭において、パーコレーションの高次元化の定義にラプラシアンの固有値の観点からアプローチするために、空間のトポロジーを変えるために上記の計算を境界条件なしの場合に考察した。複体の次元に関連するある種の階層構造に着目して、格子複体の各次元の離散ホッジ・小平ラプラシアンの固有値の計算を実行した。パーコレーションの定義という観点では、現時点では満足のいく結果は得られていないが、その考察で以下の結果を得た。グラフの全域木と隣接行列の固有値の関係を与える「行列・木定理」は様々な方向へ拡張されており、複体への拡張はDuval-Klivans-Martinらによって得られている。この結果と上記の計算を使うことにより、方体複体上の数え上げに成功した。この際、Kalaiが証明した完全複体（完全グラフの複体版）の数え上げでは、行列・木定理の拡張が一般には全域非輪体の数え上げにはならないという事実があった。方体複体の場合には完全複体の全域非輪体の数え上げに現れるねじれ部分群が現れず、行列・木定理が全域非輪体の数え上げをうまく記述していることを示した。これらの結果を用いて、方体複体の各辺の幅を無限大にすると、得られた等式の極限を取ることにより、全域非輪体の数え上げに関するエントロピーの表式が得られて、いわゆるマーラー測度の一次結合の形で表されることがわかった。これは、２次元格子の設定で、木エントロピーとして知られている結果の複体への拡張となっている。
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