2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K19962
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
伊田 明弘 東京大学, 情報基盤センター, 特任准教授 (80742121)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | 固有値 / 近似計算 / 低ランク / H行列 / アルゴリズム / 並列計算 / 高性能計算 / ハイパフォーマンスコンピューティング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
低ランク行列近似を固有値計算過程に現れる密行列に適用することにより、大規模行列の効率的な全固有値計算を目的とし、計算手法とその並列化アルゴリズムの開発を進めている。
2017年度は、代表的な低ランク近似行列である階層型行列(H行列)をハウスホルダー変換により三重対角行列化する手法の開発取り組んだ。開発手法の計算オーダーは、行列の次元をNとして、使用メモリ量O(NlogN)、演算量O(N^2logN)と理論的に見積もられた。従来手法に比べてかなり効率が良く、問題規模が大きいほど効果が見込める。
開発手法を逐次計算コードとして実装し、数値実験を行い、手法の妥当性および計算効率について検証した。開発手法の妥当性に関しては、近似しない密行列を用いて計算される固有値の総和・最大固有値・最小固有値に対して、どの程度の誤差を含んでいるかを調べた。逐次計算で計算可能な行列サイズ５万元までの観測では、開発手法を用いても高い精度で固有値計算ができることが明らかになった。最も近似による誤差の影響を受けやすい最小固有値について、計算規模の拡大につれて相対誤差がやや増加する傾向が見られたため、より大規模な行列を用いた検証が必要であることも分かった。開発手法の計算効率に関しては、使用メモリ量については理論的に予測される値に近い結果が得られた。一方、計算量は理論予測より多く、部分行列の近似計算がボトルネックであることが分かった。
計算の大規模化を目指し、開発手法の並列化に取り組んだ。H行列内の大きさの異なる部分行列間の演算が多く、並列計算を行う際に負荷バランスを取ることが難しいことが分かった。更に、分散メモリ並列計算環境においては、効率的な通信パターンの構築が困難であることが分かった。これらの困難を克服するために、新たな低ランク近似手法である格子H行列の提案を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
低ランク近似行列をハウスホルダー変換により三重対角行列化する手法を開発し、計算コードとして実装することができた。さらに、開発手法が大規模行列の全固有値計算手法として有望であることが、数値実験により確かめられた。これらの達成項目は、2017年度の目標であり、研究は順調に推移している。また、計算量の削減と並列化に向けた手法改良の必要性という課題も明らかになった。計算量の削減に関しては、部分行列の近似計算に使用しているACA法がうまく機能しない場合があることが判明しており、対処法を検討している。並列化に関しては、これまで使用していたH行列を並列化しやすいように改良した格子H行列を提案しており、目処は立っている。一連の研究について、研究会3回および招待講演2回で研究成果の発表を行い、査読付き国際会議投稿した論文２本が採択された。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまではH行列に対する固有値計算手法の開発を行っていたが、今後は新たに提案した格子H行列を対象とする。任意のH行列は、近似精度を保ちつつ格子H行列で表現できることが証明できる。そのため、格子H行列をハウスホルダー変換する手法においても、近似固有値の精度は、H行列の場合と同程度であることが期待できる。従来のH行列法にたいする格子H行列法の利点は、演算の利便性と計算・通信パターンの構築のし易さであり、並列計算に向いている。従って、格子H行列法のハウスホルダー変換については、初めから並列計算コードとして開発していく方針である。
ACA法がうまく機能しない場合がある問題に関しては、他の低ランク近似手法を試していき予定である。共同研究者から得られた知見から、乱択特異値分解が有力であると判断しており、検討を行っている。
目下の懸念事項は、実アプリから得られる固有値計算対象行列の入手である。格子H行列法の適用には、行列情報の他に仮想的な距離空間上に写像した位置情報が必要であるが、今の所、表面電荷法による電磁場解析でしか必要なデータを得られていない。量子力学と機械学習のアプリからデータを得るべく検討しており、今後も続けていく。
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| Causes of Carryover |
投稿を予定していた国際会議に論文執筆が間に合わず、関連する諸経費（旅費など）を執行できなかったため、次年度使用額が生じた。
今年度に行われる国際会議に論文を投稿し採択されたため、繰り越し額はそちらで消費する。
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Research Products
(7 results)
