2018 Fiscal Year Research-status Report
非直交変換に基づく高速・高精度・安定な行列計算アルゴリズムの設計手法の確立
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17K19966
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山本 有作 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (20362288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
廣田 悠輔 東京電機大学, 未来科学部, 助教 (60709765)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | 行列計算 / 非直交変換 / 固有値計算 / 連立1次方程式解法 / COCG法 / shifted MINRES法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，昨年度に引き続き，時間依存固有値問題の解法とシフト線型方程式の解法の2つのテーマについて，非直交変換を用いたアルゴリズムの開発と解析を行った。
(1) 時間依存固有値問題とは，時間に依存する行列A(t)の固有値・固有ベクトルをtの関数として求める問題である。本研究では，A(t)が実対称の場合を扱う。本問題に対し，昨年度の研究では，荻田・相島の固有ベクトル反復改良法に基づく効率的なアルゴリズムを提案したが，今年度はその理論的解析を行った。特に，近似固有ベクトル行列が与えられたときに，それに対応する真の固有ベクトル行列がある条件の下で一意的に存在することを示すとともに，真の固有ベクトル行列を求めるためのニュートン型解法の収束半径と収束率について，荻田・相島の原論文の結果を改良した結果を与えた。これらの理論的結果は，提案手法の高信頼化のために重要である。また，提案手法をメニーコアプロセッサXeon Phi上で実装し，1ステップごとに固有値問題を解き直す素朴な解法に比べて，最大7倍程度の高速化が実現できることを示した。
(2) シフト線型方程式とは，(A+σI)x=bの形の方程式で，特にAが実対称またはエルミート，σが純虚数の場合は，シュレーディンガー方程式の時間発展の計算など，多くの応用がある。本問題に対しては， CG法（共役勾配法）を複素対称行列に拡張したCOCG法が広く使われているが，本研究では，shifted MINRES法と呼ばれる解法を用いることを提案し，同手法が，計算の安定性，残差の単調減少性，反復あたりの行列ベクトル積の回数などで，COCG法よりも優れた性質を持つことを示した。また，電子状態計算ソフトELSESから得られる実問題の行列を用いて，これらの結果を実験的に確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非直交変換に基づきながらも安定性を実現しているアルゴリズムを取り上げ，その理論的解析を行うという目標に向かい，研究がほぼ順調に進展している。これまでに取り上げた時間依存固有値問題の解法とシフト方程式の解法は，ともに非直交変換を効果的に活用できているアルゴリズムの例であるが，本研究での理論的解析により，その安定性の理由の一端を明らかにできたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，既存アルゴリズムの解析を行い，その安定性の理由を探るとともに，安定性を実現しているメカニズムを一般的な形で理解し，ベクトルの直交化，B-直交化など，新たなアルゴリズムの開発に役立てる。
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| Causes of Carryover |
共同研究先のスロバキア国立科学アカデミーが企画する研究会が，予定より遅れて2019年度の開催となったため，参加のための旅費と，参加後に投稿予定の論文の出版費用とを次年度に使用する。
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