2019 Fiscal Year Research-status Report
非直交変換に基づく高速・高精度・安定な行列計算アルゴリズムの設計手法の確立
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17K19966
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山本 有作 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (20362288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
廣田 悠輔 東京電機大学, 未来科学部, 助教 (60709765)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | 行列計算 / 非直交変換 / 固有値計算 / 時間依存固有値問題 / ブロックヤコビ法 / 収束性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，時間依存固有値問題の解法と対称固有値問題の解法の2つのテーマについて，アルゴリズムの開発と解析を行った。
(1) 時間依存固有値問題とは，時間に依存する行列A(t)の固有値・固有ベクトルをtの関数として求める問題である。本科研費では，A(t)が実対称の場合を対象として，荻田・相島の固有ベクトル反復改良法に基づく効率的なアルゴリズムの提案と理論的解析を行ってきた。今年度は，昨年度の理論的解析で残されていた，行列の固有値が縮重する場合の解析を行った。荻田・相島法では，固有値が縮重する場合についても計算法が与えられているが，その計算法は，固有ベクトル行列を求めるための条件式のうち，悪条件性を引き起こす一部の条件式を無視して計算を行う手法であり，なぜそれで正しい解が得られるのか，直感的に理解することが難しかった。本研究では，バナッハの不動点定理を用いた解析法を新たに提案し，残りの条件式を満たすように解を構成すれば，無視した条件式も自動的に満たされることを明らかにした。これにより，荻田・相島の方法の正当性に関する直感的に分かりやすい説明を与えることができた。
(2) 対称固有値問題の解法としては，ブロックヤコビ法に基づく高並列アルゴリズムの研究を行っている。今年度は，同手法の収束性を改善するための組合せ的前処理を提案した。本前処理では，ブロックヤコビ法において非対角ブロックの消去を行う前に，行列の置換を行い，絶対値の大きい要素を非対角ブロックに集める。これにより，各回の消去での非対角ノルムの削減幅を大きくでき対角行列への収束を高速化する。数値実験により本手法の評価を行い，有効性を確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非直交変換に基づきながらも安定性を実現しているアルゴリズムを取り上げ，その理論的解析を行うという目標に向かい，研究がほぼ順調に進展している。特に，荻田・相島の方法に基づく時間依存固有値問題の解法は，非直交変換を効果的に活用できているアルゴリズムの例であり，メニーコアなど先進的計算環境での有効性が，性能評価により示されている。従来は，重複固有値の扱いの正当性が直感的に分かりにくかったが，本研究での理論的解析により，直感的に分かりやすい説明ができ，今後のアルゴリズム拡張に役立つと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，非直交変換を用いた各種行列計算アルゴリズムの解析を行い，その安定性の理由を探るとともに，安定性を実現しているメカニズムを一般的な形で理解し，新たなアルゴリズムの開発に役立てる。
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| Causes of Carryover |
2019年6月，研究代表者の右手首骨折の手術後の病状が悪化し，遠方への出張が困難となったため、同年7月に予定していた海外共同研究者との研究打合せのための海外出張と，その結果に基づく論文投稿ができなかった。2019年12月に再手術を行い，現在既に回復しているため，海外共同研究者と再調整を行って2020年度に研究打合せを行い，その後に論文投稿を行う予定である。
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