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2008 Fiscal Year Annual Research Report

非線形拡散場が生成保存する構造

Research Project

Project/Area Number 18204011
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

儀我 美一  The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70144110)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 利根川 吉廣  北海道大学, 大学院・理学研究院, 教授 (80296748)
Keywordsコリオリ力 / 概周期関数 / 特異拡散 / 自由境界問題 / ファセット / 非一様な場
Research Abstract

本年は結晶成長現象に現れるファセットを持つ解の構成を中心とした問題と、また回転場内のナヴィエ・ストークス方程式の時間大域解の問題を主に考察した。その他、流体力学方程式の理解のために半線形熱方程式の解の爆発問題にも取り組んだ。
結晶成長現象ではファセットと呼ばれる平らな面が現れることがある。この場合、結晶表面の成長を記述する方程式は表面エネルギー密度関数に異方性があり、その関数に特異点がある、いわゆる特異拡散方程式となる。これまでにファセットの安定条件を導出した。本年はさらにファセット分裂の起こる解を、自由境界問題を解くことにより2次元結晶の場合に具体的に構成した。ただし、駆動力は結晶の周りの密度分布を反映した既知関数とした。これは従来扱われてきた自由境界問題と異なる新たな型の問題であった。
地球流体のような回転場の中の流体を記述するコリオリ力付ナヴィエ・ストークス方程式の数学解析は・回転場に対応する発展作用素であるボアンカレ・ソボレフの群が拡散型ではなく、分散型であるため、通常のナヴィエ・ストークス方程式では初速度がBMO空間(有界平均振動関数の空間)に属する関数の微分の場合、その関数が小さければ時間大域解の存在が知られている。しかし、BMOではボアンカレ・ソボレフの群は時間に関して非有界なので、BMO空間では回転場内の流体方程式の大域解は構成しづらい。そこで、有限測度のFourier像である空間FMをBMOの代わりに用いることにより、回転数によらずに初速度が小さいときの時間大域可解性を示した。実概周期関数を初速度とする最初の大域的結果である。

  • Research Products

    (18 results)

All 2009 2008

All Journal Article (9 results) (of which Peer Reviewed: 8 results) Presentation (8 results) Book (1 results)

  • [Journal Article] Facet bending in the driven curvature flow in the plane2008

    • Author(s)
      Y. Giga and P. Rybka
    • Journal Title

      J. Geometric Analysis 18

      Pages: 109-147

  • [Journal Article] On time analyticity of the Navier-Stokes equations in a rotating frame with spatially almost periodic data2008

    • Author(s)
      Y. Giga, H. Jo, A. Mahalov and T. Yoneda
    • Journal Title

      Physica D 237

      Pages: 1422-1428

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A microscopic time scale approximation to the behavior of the local shape on the faceted surface under a nonuniformity in supersaturation2008

    • Author(s)
      E. Yokoyama, Y. Giga and P. Rybka
    • Journal Title

      Physica D 237

      Pages: 2845-2855

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On instant blow-up for semilinear heat equations with growing initial data2008

    • Author(s)
      Y. Giga and N. Umeda
    • Journal Title

      Methods and Applications of Analysis 15

      Pages: 185-196

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Uniform global solvability of the rotating Navier-Stokes equations for nondecaying initial dat2008

    • Author(s)
      Y. Giga, K. Inui, A. Mahalov and J. Saal
    • Journal Title

      Indiana Univ. Math. J. 57

      Pages: 2775-2792

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the Stokes resolvent equations in locally uniformly $L^{p}$ spaces in exterior domains2008

    • Author(s)
      M. Geissert and Y. Giga
    • Journal Title

      Functional analysis and evolution equations

      Pages: 307-314

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Faceted crystal grown from solution-a Stefan type problem with a singular interfacial energy.2008

    • Author(s)
      Y. Giga and P. Rybka
    • Journal Title

      Gakuto International Series, Mathematical Sciences and Applications, Gakkotosho, Tokyo 28

      Pages: 31-41

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A remark on the discrete deterministic game approach for curvature flow equations2008

    • Author(s)
      Y. Giga and Q. Liu
    • Journal Title

      Gakuto International Series, Mathematical Sciences and Applications, Gakkotosho, Tokyo 29

      Pages: 103-115

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Evolution equations with almost periodic initial data2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Journal Title

      Gakuto International Series, Mathematical Sciences and Applications, Gakkotosho, Tokyo 30

      Pages: 97-106

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Singular diffusion equations with nonuniform driving force2009

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      Workshop on Viscosity Solutions and Related Problems
    • Place of Presentation
      埼玉大学 東京サテライト
    • Year and Date
      2009-01-29
  • [Presentation] ファセット安定性問題の数学解析2008

    • Author(s)
      儀我美一
    • Organizer
      結晶成長学会国内会議
    • Place of Presentation
      仙台
    • Year and Date
      20081104-20081106
  • [Presentation] Surface Evolution Equations- A level set approach2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      PDE in Geometry University of Cologne
    • Place of Presentation
      University of Cologne
    • Year and Date
      20080721-15
  • [Presentation] ファセット安定性問題の数学解析2008

    • Author(s)
      儀我美一
    • Organizer
      第10向界面ダイナミクスと数値シミュレーション
    • Place of Presentation
      神戸インスティチュート
    • Year and Date
      2008-11-28
  • [Presentation] On blow up at space infinity2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      The third Euro-Japan Seminar on Blow up
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2008-09-08
  • [Presentation] The Cauchy problem for the Navier-Stokes-Coriolis equations with spatially almost periodic initial data2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      Seminars on Equations on Mathematical Physics
    • Place of Presentation
      Warsaw University
    • Year and Date
      2008-07-30
  • [Presentation] On billiards for game interpretation of the Neumann problem for curvature flows2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      Special Analysis Seminar
    • Place of Presentation
      Courant Institute New York University
    • Year and Date
      2008-05-16
  • [Presentation] The Cauchy problems for the Navier-Stokes equations with spatially al most periodic initial data2008

    • Author(s)
      Y. Giga
    • Organizer
      New Aspects and Development of Mathematical Analysis in Nonlinear Phenomena
    • Place of Presentation
      九州大学
    • Year and Date
      2008-05-16
  • [Book] International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity Solutions2008

    • Author(s)
      Y. Giga, S. Koike T. Ozawa and N. Yamada (eds.)
    • Total Pages
      255
    • Publisher
      Gakkotosho, Tokyo

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Published: 2010-06-11   Modified: 2012-08-15  

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