2006 Fiscal Year Annual Research Report
偏微分方程式の解に時間依存の特異点が現れる諸問題の新展開
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18340047
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
小俣 正朗 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (20214223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮川 鉄朗 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (10033929)
神保 秀一 北海道大学, 大学院理学研究科, 教授 (80201565)
WEISS Georg 東京大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (30282817)
木村 正人 九州大学, 大学院数理学研究院, 助教授 (70263358)
菊地 光嗣 静岡大学, 工学部, 教授 (50195202)
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| Keywords | 変分問題 / 非線形偏微分方程式 / 特異点 / 数値解析 / 最小化法 / 自由境界問題 |
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| Research Abstract |
本年度は双曲型の体積保存問題とそれに関連する自由境界問題についての数値計算で発展的な研究を行ってきた。体積保存条件を持つ液滴の振動方程式を導き、その数値解析プログラムが完成した。特に自由境界のある場合は、non-local termを持つ退化双曲型自由境界問題となる。この種の自由境界問題には、変分問題に基づく計算方法である双曲型離散勾配流法が大変有効であり、制約条件の無い場合の双曲型自由境界問題でも、近似方程式がうまく意味づけられる。空間次元が1の場合に強力なダンピングタームの元で、弱解の構成が行われる見込みがある。この問題は、物理的なイメージとしては、ガラス面上での液滴モデルの時間発展ダイナミクスであり、その振動解析するのが目標である。空間微分の主要項を極小曲面方程式とすると自由境界が無くても解の存在が知られていない。よって、ここでは主要項はラプラシアンとした。これに対しても、菊地・小俣等の結果が知られているだけである。
これらの知見をもとに数値計算を行った。液滴の合体や分離も取り扱えるようになった。
さらに、津波の研究の基礎方程式と体積保存問題は密接な関係があることがわかった。これに付随して出てきた、放物型体積保存問題については、弱解の構成、弱解のヘルダー連続性などを示すことが出来た。
研究は、補助金のおかげと研究分担者の協力により順調な進捗を見せている。
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