| Research Abstract |
本研究の目的は,経済学,システム工学,オペレーションズ・リサーチ,最適化理論,アルゴリズム理論などの広汎な分野における基礎的諸問題に関わる離散構造を,離散凸性という横断的視点から整理し,「離散凸」という新しいパラダイムを確立し,それを広範囲の応用分野に浸透させることにある.この目的の実現のため,「離散凸パラダイム」の横糸を成す,構造定理やアルゴリズムを代表とする離散関数に関する数理の研究と,縦糸を成す,諸応用分野における具体的な諸問題に対する研究を行った.具体的な本年度の研究実績は以下の通りである.
・連続変数のM凸関数とL凸関数の数学的な扱いにおいては,解析学的な性質については直感的な議論では不十分であり,数学的な観点から精密な議論が必要な場合がある.そこで,連続変数のM凸関数とL凸関数が実効定義域の境界においても連続であるという基本的な事実に対する,数学的に厳密な証明を与えた.この事実の証明は,離散変数のM凸関数とL凸関数の最小化に対する連続緩和法の解析に有益である.
・一般グラフのマッチングとマトロイドの共通独立集合問題の共通の一般化として,点集合上に2種類のマトロイドが付随する有向グラフにおける独立偶因子問題を考察し,偶因子問題に対するPapの組合せ的アルゴリズムを拡張するとともに,Edmonds-Gallai型の分解原理を与えた.
・劣モジュラ関数の最小化に関して,関連する研究動向を整理し,さらに既存のアルゴリズムより簡潔な組合せ的多項式時間アルゴリズムを設計した。
・離散凸関数最小化アルゴリズムを実装したソフトウェア,ODICON(Optimization algorithms for DIscrete CONvex functions)をWeb上で公開した.このソフトウェアでは,最小化アルゴリズムの見通しのよいC言語ソースを提供すると共に,最小化される関数の素直なインタフェースを示し,別のプログラムからライブラリとして呼び出されることにも対応している.
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