2006 Fiscal Year Annual Research Report
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18540043
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
中島 徹 日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺尾 宏明 北海道大学, 大学院理学研究院, 教授 (90119058)
ゲスト マーティン 首都大学東京, 都市教養学部, 教授 (10295470)
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| Keywords | 代数幾何 / 誤り訂正符号 / ベクトル束 |
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| Research Abstract |
本年度では、相対的Reed-Muller符号の基礎的性質を考察することを主な目的として研究を行った。その結果、以下に述べる様な成果を挙げることができた。
我々が得た成果の一つ目は、大域切断で生成された曲線上のベクトル束の場合に、付随する射影束内の部分多様体から定まる相対的Reed-Muller符号の最小距離の下からの評価式を得たことである。この結果は、標準直線束がnefであるという事実を用いて、多様体上の因子の交点理論から証明される。
二つ目の成果は、与えられたパラメータをもつ相対的Reed-Muller符号を曲線上の射影束から構成したことである。この構成の鍵となるのは、与えられた階数と次数を持ち、大域切断で生成された曲線上の安定束の存在である。我々は、有限体上定義されたFano多様体が常に有理点をもつというEsnaultの定理を安定束のモジュライ空間に対して適用することによって、この様な安定束の存在を証明することができた。更に、この安定束に付随する射影束から定まる相対的Reed-Muller符号に対してRiemann-Rochの定理を用いて次元の計算を行うことができた。以前の研究に於いては、同様の結果を楕円曲線上の半安定ベクトル束の場合に得ていたが、今回の研究によって任意種数の曲線上の場合にまで一般化されたことになる。
最後の成果として、上に述べた符号の存在定理を用いることにより、相対的Reed-Muller符号の列で情報伝送率と相対最小距離が共に正の値に収束するものを構成することに成功した。この様な漸近的に良い符号列は、従来の曲線から得られる代数幾何符号以外では例が殆ど知られていなかったため、我々の得た結果は大変興味深いと考えられる。
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