2009 Fiscal Year Annual Research Report
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18540056
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
北岡 良之 Meijo University, 理工学部, 教授 (40022686)
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| Keywords | 代数体 / 単数 / 分布 |
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| Research Abstract |
本研究の目的は代数体の単数がどのように分布するのかを調べることである。しかしながら、分布の定義は確立していない。我々の取った視点は類体論(代数)と解析数論(解析)を融合させた見方を基礎に採った。類体論を取り上げた理由は代数体Fの整イデアルAを決めるとそれにたいしてAを導手にもつFのアーベル拡大体が唯一つ決まり、その拡大次数がFの類数とAを法として単数のなす部分群の剰余指数との積となることが知られている。その拡大体自身存在は証明できるものの具体的に構成することはほとんどできず、その拡大次数についても類数は古来非常に良く調べられているのに対し、指数についてはほとんど何も調べられていなかった。そこで類体論を念頭においてこの指数の値の分布が単数の分布の反映であるととらえる観点を採用しそれを解析的整数論の手法を用いて調べた。すでに前回の科研費によって整イデアルが素イデアルの場合にはその代数的枠組みについてはわかった。もちろん個々の代数体に特有のこと等、調べなければならない事は多く残っていてこの場合だけでも代数的にも多くの問題が残っているし、解析的側面については手のつけようがないくらい難しいというのが現状である。
しかし、ともかくも素イデアルのときは様子は掴めたので、より一般の整イデアルに対して様子を探る事を考えることにし、有理素数で生成される単項イデアルを手始めに調べ成果をえた。しかしそこでわかったのは素数をフロベニウス写像で支配するときそのフロベニウス写像がガロア群の中心に入る事が重要な必要条件であるということであり、そうでないときは様子はまったくわからなかった。そこで引き続き実例を調べた。
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