2007 Fiscal Year Annual Research Report
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18540064
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
大嶋 秀明 Ibaraki University, 理学部, 教授 (70047372)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768)
山上 滋 茨城大学, 理学部, 教授 (90175654)
相羽 明 茨城大学, 理学部, 准教授 (90202457)
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| Keywords | リー群 / 回転群 / ホモトピー / 自己写像 / 自己ホモトピー同値写像 / ベき零指数 / 作用素圏 / 双圏 |
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| Research Abstract |
1.4次の特殊回転群SO(4)から自分自身へのホモトピー同値写像のホモトピー類群をε(SO(4))と書き,その元のうちホモトピー群の恒等写像を誘導するもの全てからなる正規部分群をε_#(SO(4))と書く。商群Γ:=ε(SO(4))/ε_#(SO(4))の構造を調べ次の結果を得た。
(1)有限位数の元も含む無限群Γの各元の位数は1,2,4,∞のいずれかである。その判定法も与えた。
(2)無限群ε(SO(4))はべき零ではない。
以前研究代表者がε_#(SO(4))を完全に決定したので,上とあわせると,ε(SO(4))は7個の元で生成され,群拡大を除いてほぼ決定されたことになる。任意の位相空間Xに対し,その自己ホモトピー同値写像のホモトピー類群ε(X)はXのホモトピー不変量である。このε(X)は長い間研究され続けているが,典型的なX,例えば単連結な低次元単純リー群,に対してさえその群構造はほとんど知られていない。上の結果は物理学との関係の深い非単連結かつ非単純な群SO(4)についてのものであり,この方面の研究の端緒となるもである。
2.Gをリー群SU(3)とSp(2)のいずれかとし,map(G,G)をGの連続自己写像全体からなる位相空間とする。ホモトピー群π_n(map(G,G))をn≦8の場合に決定した。これにより,ホモトピー論の主要な研究対象のひとつであるGのホモトピー同値写像のホモトピー類群aut(G)のホモトピー群の情報も得られる。また,ゲージ論への応用が期待される。
3.山上 滋はW*圏の間の正規関手のなす双圏はW*双加群のなす双圏にモノイド的に同値であることを証明した。
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