2006 Fiscal Year Annual Research Report
曲面の錐状特異点をもつユークリッド構造とタイヒミュラー空間
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18540090
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高山 晴子 九州大学, 大学院数理学研究院, 助手 (90274430)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大鹿 健一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (70183225)
大場 清 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (80242337)
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 錐状特異点 / ユークリッド構造 / 多角形 |
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| Research Abstract |
リーマン面のモジュライ空間は、曲面上の錐状特異点付きユークリッド構造のモジュライ空間と同一視できることがTroyanovの結果によって知られている。我々は、この視点からその普遍被覆空間であるタイヒミュラー空間の幾何構造を調べることを目的としているが、今年度は、リーマン面のモジュライ空内の超楕円曲線族がなす部分空間について、そのタイヒミュラー空間と平面多角形のモジュライ空間との間の同型の確立を目指した。実際、平面上の四角形の相似類のなす空間が1点付きトーラスのタイヒミュラー空間と同一視できることは既に示したが、平面上の五角形の相似類のなす空間と種数2のリーマン面のタイヒミュラー空間との同一視を確立することを望んでいる。我々は、種数2のリーマン面のタイヒミュラー空間がその正則対合性によって球面上の6点で錐状特異点をもつような球面状のマーク付きユークリッド構造のモジュライ空間と同一視できることを示したが、マーク付きユークリッド構造からその展開図としてえられる平面上の五角形の組合せ的構造の記述を行った。また、逆に任意の特異平面五角形について、種数2のリーマン面のタイヒミュラー空間に自然に作用する写像類群が誘導する平面五角形のモジュライ空間上の作用によって、それが非特異平面五角形に変換されることを示すため、各組合せ構造をもつ特異平面五角形の数式条件を各辺が表すベクトルの外積をもちいて記述した。数式プログラムMathematicaを用いてそれらをみたす具体的な多角形を求め、Excelを用いた多角形の描画によりその非特異化の変換実験を多数行った。その結果、錐状特異点をもつマーク付きユークリッド構造とその展開図として現われる特異五角形の組合せ構造の対応がまだ完全でないことがわかった。まずこれらをより正確に記述することが来年度の目標である。
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