2007 Fiscal Year Annual Research Report
微分作用素の固有値の幾何学及び部分多様体の幾何学に関する研究
| Project/Area Number |
18540091
|
|---|
| Research Institution | Saga University |
|---|
Principal Investigator |
成 慶明 Saga University, 理工学部, 教授 (50274577)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河合 茂生 佐賀大学, 文化教育学部, 教授 (30186043)
廣瀬 進 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (10264144)
猿子 幸弘 佐賀大学, 理工学部, 講師 (00315178)
|
|---|
| Keywords | Dirichlet eigenvalue problem / eigenvalue / universal inequality / Laplacian / Jacobi operator / hypersurface / constant scalar curvature / Riemannian manifold |
|---|
| Research Abstract |
1.P.Li、Yauの部分的に解決したPolya予想及びWey1の漸近式により、n次元Euclid空間内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の第k番目固有値に対する下限を与えた。しかし、第k番目固有値に対する上限の研究はかなり難しい。研究成果は殆どなかった。我々は先ず代数的な漸化式を創造し、この漸化式を使って、Weylの漸近式を精密化し、Laplace作用素のDirichlet固有値問題の第k番目固有値に対する上限を与えた。kの位数の意味で最適であることもわかった。
2.n次元Euclid空間内の有界領域又は球面内の領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の固有値に関する最適な普遍不等式はそれぞれYang と Cheng-Yangにより証明された。完備なリーマン多様体の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の固有値に関する普遍不等式の研究成果はほとんどなかった。その理由としては試験関数をどのように構成するかどうかを分からなかった。我々はNashの定理を利用し、試験関数を構成することが成功した。よって、完備なリーマン多様体内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の固有値に関する普遍不等式を得た。我々の不等式はYang-型で、最適であることも分かった。
3.単位球面内のスカラー曲率が一定のコンパクトな超曲面は平均曲率の積分の汎関数の臨界点であることが知られている。この超曲面におけるヤコビ作用素の第1固有値を評価し、最適な上限を与えた。さらに、第1固有値がこの上限になるための必要十分条件はこのコンパクトな超曲面が全臍的であるか、またはClifford超曲面であることである。
4.球面又は複素射影空間内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題のlower order固有値に関する最適な不等式を得た。
|
Research Products
(19 results)
