2008 Fiscal Year Annual Research Report
同じ絡み目の2つの射影図をつなぐライデマイスター変形の回数
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18540100
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
林 忠一郎 Japan Women's University, 理学部, 准教授 (20281321)
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| Keywords | 絡み目射影図 / ライデマイスター変形 / 上界 / ファンダメンタル曲面 / ノーマル曲面 |
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| Research Abstract |
絡み目Lが橋分解されている状況を考える。3次元球面が2次元球面Sによって2つの3次元球体B1とB2に分解されており、Lはそれぞれの球体とb本の自明弧で交わっている。各球体内に自明弧が自明であることを表すb枚の円盤のシステムが取れる。各円盤の縁の輪はLの部分弧とS上の弧を繋げたものになる。このS上の弧は円盤の枚数と同じ2b本あり、それらを繋げて結び目の図となる。この結び目の図はこの橋分解に基づくと言う。結び目の図において、結び目の上の有限な偶数個の点をうまく指定して区切り、橋分解のB1内の弧とB2内の弧が交互に繋がっていると見做せる。同じ絡み目を表す2つの図は区切り点をうまく増やすと同じ橋分解に基づくと見做せることが知られている。Lの部分弧が自明であることを示す2b枚の円盤のシステムの取り方を2通り考えると、Lの2つの図D1とD2が得られる。D1、D2の交差点の数をn1、n2と置く。一般にはD1とD2は幾らでも多くの交差点で交わり得る。D1とD2の配置の無駄を無くして、D1とD2の間の交差点の数cをn1、n2、bの式で上から抑える。cが無駄に大きいと、D1の弧2本とD2の弧2本で囲まれた四角形領域が多いことが分かった。実際、c、n1、n2、bの或る1次式で表わすことができた。四角形でない領域の数はn1、n2、bの或る1次式△以下であることが分かった。D1をその交差点と橋分解の分割点で2n1+b本の紐に区切り、D2も同様に区切る。このとき、D1のある紐とD2のある紐はc/(n1、n2、bの2次式)以上の交差点を持つことが分かった。片方の紐を基準にもう一方を交差点で部分紐に区切って考えると、高々△-1個の平行類しか無いことが分かった。
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