2008 Fiscal Year Annual Research Report
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18540103
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
黒瀬 俊 Fukuoka University, 理学部, 教授 (30215107)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)
濱田 龍義 福岡大学, 理学部, 助教 (90299537)
川久保 哲 福岡大学, 理学部, 助教 (80360303)
松浦 望 福岡大学, 理学部, 助教 (00389339)
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| Keywords | アフィン微分幾何 / ヘッセ多様体 / 曲線の運動 / 可積分系 / ハミルトン系 / 共形平坦超曲面 / 実超曲面 |
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| Research Abstract |
平成20年度に得られた研究成果は以下のとおりである。
1.アフィン微分幾何において現れる幾何構造であるヘッセ構造に関し、特にそのヘッセ断面曲率が定数になるものについて研究した。その結果、適当な極大性の仮定のもとで、ヘッセ断面曲率がOまたは正定数であるヘッセ構造を一般次元ですべて構成・分類し、またヘッセ断面曲率が負定数である2次元ヘッセ構造をすべて構成した。ヘッセ構造は情報幾何において重要な役割を果たしている幾何構造であり、この結果はアフィン微分幾何の情報幾何への応用として大いに利用しうるものである。
2.アフィン平面の等積アフィン曲線の運動で、澤田・小寺方程式と呼ばれる可積分系方程式に従って曲率が時間発展するものについて調べ、その運動をハミルトン系として定式化した。また、同じく可積分系方程式であるKdV方程式・変形KdV方程式の間のミウラ変換を、曲線の空間上のハミルトン系の変換として記述し、その性質を調べた。これらは可積分系理論の部に新たな幾何的表現を与えるものである。
3.4次元ユークリッド空間内の共形平坦な超曲面が、ある条件を満たす関数から構成され、共形平坦な超曲面の族が付随することを見出し、さらに、ある種の共形平坦超曲面の計量を完全に決定した。以上により、共形平坦な超曲面の構成・分類問題の完全解決に向けて大きく前進することができた。
4.階数1のコンパクト対称空間内の完備実超曲面で、主曲率が一定で二つあり、正則断面曲率に関するある条件を満たすものは測地球に限ることを示した。これは、今まであまり重視されていなかった実超曲面の大域性に関する条件がその研究において有用であることを示唆するものである。
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